一種穩健的Cole-Cole模型時間常數的提取方法
【技術領域】
[0001] 本發明涉及一種數學模型參數提取方法，尤其是涉及一種生物阻抗檢測技術領 域或電法勘探頻率域激電法中Cole-Cole模型時間常數參數提取方法。
【背景技術】
[0002] Cole-Cole模型常見于生物組織狀態電阻抗檢測，地下石油礦產的激電法勘探等 科學技術領域，它是一種用于被測對象電阻抗的擬合、特征提取及量化評估的數學方程。其 表達式如下式：
其中私是零頻率時模型的阻抗，R?是無窮大頻率處的阻抗值，α為一個無量綱的數， τ是時間常數，ω = 2 π f。τ與特征頻率f。成反比例關系
此頻率下生物組織 復阻抗虛部可以達到最大。 該模型的四個參數物理意義明確，通常用作為評估電阻抗特性的具體指標。其中 τ (或f。）在諸多研究中為重點關注的參數，甚至被認為是最可靠的電導指標。
[0003] 由于四個參數與阻抗譜之間并非都是線性關系，實現四個參數都準確求解并非易 事（non-trivial problem),尤其是當實測阻抗數據受到比較嚴重的噪聲干擾的時候。 假設所測得的N個復阻抗數據為：勿舛）+斤,，1 = 1，…，N。
[0004] 目前，Cole-Cole模型求解方法常用的有三種方法： 1)根據阻抗Z(jco)在復平面的軌跡圖是第四象限的一段圓弧的特點（高階模型往往 沒有這個特性），采用圓的擬合方法可以實現RwRwa三個參數較為準確的求解。由于擬 合圓的方法不含頻率信息，該方法不能直接求出τ。τ的求解通常是把求出的R。，！^，α 帶入式（1-1)進行等式變換，然后把各個頻率的實測阻抗數據代入，再對所獲的τ取均值 (Average the Values Calcuated at All Measurement Frequencies, AVCAMF),如下式：
F即為τ的求解結果。 該方法數值計算簡單、穩定。然而τ這種求解方法在數據存在噪聲時精度并不高，特 別在實測阻抗誤差大于2%的時候[1]。這其中主要原因在于等式的變換導致了噪聲的特性 (均值與方差）發生了變化所致。
[0005] 2)基于模型與實測數據的均方誤差為指標函數（Function of Mean Square Error，FMSE。R。，!^，α，τ四個參數均為變量）的非線性最小二乘優化方法[2]，該方法能 同時實現CC模型四個參數的求解，適用范圍比較寬，但是該方法未能避免陷入局部極小值 的風險，優化結果未必能得到全局最優解。
[0006] 3)Xiang 等提出多重最小二乘（multifold least_squares)CC 模型求解方法[3], 并說明該方法能獲得最小二乘意義上的唯一最小解。但是該方法未能證明其對不同的噪聲 擾動均有比較好的穩健計算結果。
【發明內容】
[0007] 本發明目的在于提供一種兼具穩健與高精度的Cole-Cole模型時間常數的提取 方法。
[0008] 本發明的目的是通過以下技術方案步驟實現： 第一步，先對數據i(.M)進行圓的擬合，求出圓心（X。，y。）與半徑r ;然后根據下式求出 R〇，R 〇〇，α :
第二步，極小化本發明提出的簡化的全體實部誤差累加的平方的指標函數（只有τ為 變量）來實現τ的求解。
[0009] 下面通過闡述證明簡化的全體實部誤差累加的平方的指標函數（Simplified Function of Square of Sum of Real Part Error, SFSSRPE)為只有全局唯一極值點，來證 明τ的求解是穩健的。 首先介紹τ的極小化簡化的均方誤差指標函數的解法（Simplified Function of Mean Square Error, SFMSE) 根據 ja = cos(a jt /2)+jsin(a jt /2) 模型分解成實部虛部相加為
設模型數據為^(jc^) = Xl+jyi 則誤差：
均方誤差為：
[0010] 由于R。，R"〇, α已經已知，目標函數ν( τ )只有τ為自變量，因此把ν( τ )稱為 簡化的均方誤差指標函數（SFMSE)。由于τ是唯一的自變量，因此可以采用黃金分割法等 一維搜索算法來優化V(t)從而實現τ的求解。這種方法利用了實部和虛部信息，但由于 V( τ )可能存在多個局部極小值，因此這種方法，優化過程存在陷入局部極小值的危險。
[0011] 下面將闡述在R。，!^，α已知的情況下，本發明僅用數據實部來求解τ的方法，該 方法可以獲得高精度穩健的τ的求解。 記 W = (ω ! τ ) α，c! = cos ( α π /2)，c2 = cos ( α π /2) (R0_R " )，c3 = (R0_R " )， % -焉.，c5 = sin( a jt /2) 對于實部誤差：
由于(31，(：3和111均大于零，因此
，那么exl為單調遞減函數，如圖1所示。圖1 中實部誤差曲線為單調遞減。 對于虛部誤差：
可能大于零，也可能小于零，因此eyl為非單調函數，如圖1所示。圖1中虛部 誤差曲線為非調遞減。
[0012] 由于之()岣）為第四象限的一段實線弧，且有(極少數點因過大噪聲不 在此范圍）。 所以在〇〈 τ〈〇〇范圍內，Θχ1為單調遞減函數，且從正變到負，有唯一零點， 因此求解方程exl(T) = 0可以求出唯一一個τ來。而方程eyl(〇 = 〇可能存在多 個解，不容易區分哪一個為所需的τ。 在此只考慮exl，由于存在噪聲的干擾，單個exl求出的τ存在很大的不確定性。進 一步考慮對所有的exl進行累加以消除均值為零的噪聲，
單調特性，顯然exS( τ )也是單調遞減函數。
<所以exS(T)有唯一零點。
[0013] 當 exS( τ ) = 〇 (1-16) 時，對應的τ_既為所需。顯然，求方程（1-16)的解析解是個難題。在此提出把這個 問題轉化為對指標函數VxS ( τ ) = exS ( τ )2 (取| exS ( τ ) |獲得同樣的效果）的優化，VxS ( τ ) 也稱為SFSSRPE。（注：從普遍意義上來說，VxS( τ )可以取
，其中q為大于 零偶數，P為大于零的奇數，或者取
，其中q和P為大于零的自然數。這兩 種情況均獲得相同的優化結果。）
[0014] 根據exS( τ )在〇〈 τ〈 〇〇范圍內為單調遞減，且有正有負的特性，可推出VxS( τ )為 有唯一極小值點，且極值為〇的函數。如圖2所示，圖中只有一個極小值點