一種葉輪結構的三維實體葉片與二維軸對稱輪盤變維度模型有限元預應力模態分析方法
【技術領域】
[0001] 本發明屬于結構動力學和有限元計算等技術領域，具體為一種葉輪結構的三維實 體葉片與二維軸對稱輪盤變維度模型有限元預應力模態分析方法。
【背景技術】
[0002] 葉輪結構廣泛存在于旋轉機械中，如發電器、汽輪器和航空發動機等等。對葉輪結 構進行模態分析是葉輪設計的重要環節，對保證高速旋轉下葉輪系統的穩定有重要意義。 對于具有回轉周期特性的單組葉片葉輪結構，目前較多采用扇區模型進行模態分析，但扇 區模型往往規模較大，計算時間長，且無法計算不滿足回轉周期特性的葉輪結構。當對葉輪 結構進行優化設計時，需對模型進行反復的模態分析計算，扇區模型較長的分析時間成為 優化設計的瓶頸。
[0003] 本發明方法提出了葉輪結構的三維實體葉片與二維軸對稱輪盤變維度模型的預 應力模態分析方法，其意義在于極大提高了葉輪類回轉周期模型的預應力模態分析效率， 同時不降低其模態分析精度。本發明方法用三維位移模式細致地表征復雜構型葉片的變 形，在此基礎上用動態子結構方法對三維實體葉片模型進行自由度縮聚；回轉體輪盤的變 形簡化為包括周向位移分量的二維軸對稱模式，縮減了輪盤模型的自由度，并保持葉片與 輪盤之間的位移協調。通過以上兩個操作，可以將葉片與輪盤耦合動力學模型的自由度縮 減若干量級，提高葉輪結構固有模態（包括預應力模態）分析的效率，并且模態分析結果與 完整的三維葉輪有限元模型計算結果相近。本方法中葉輪結構的形狀不受回轉周期的限 制，對于在輪盤上安裝有多組、周向個數各不相同葉片的葉輪，亦可使用本方法進行分析， 從而能解決復雜葉輪結構無法用扇區模型進行模態分析的難題。
【發明內容】
[0004] 本發明的目的是提供一種葉輪結構的三維實體葉片與二維軸對稱輪盤變維度模 型有限元預應力模態分析方法。該方法對于葉輪類回轉周期結構具有普適性，其通過建立 與完整三維葉輪模型等價的三維實體葉片和二維軸對稱輪盤變維度有限元模型，降低了模 型的自由度數目，從而提高了該類模型的模態分析效率。
[0005] 本發明提供的一種葉輪結構的三維實體葉片與二維軸對稱輪盤變維度模型有限 元預應力模態分析方法，具體步驟包括：
[0006] (1)建立由葉片與輪盤構成的葉輪結構變維度有限元模型；其首先將葉片用三維 實體單元表示，建立三維實體葉片模型；將輪盤用二維軸對稱單元表示，建立二維軸對稱輪 盤模型；再通過在三維實體葉片模型和二維軸對稱輪盤模型中分別設置一組連接節點，實 現葉輪變維度模型的組合，并分別在三維實體葉片模型和二維軸對稱輪盤模型的部分內部 節點與連接節點之間建立一組位移分量的線性約束關系，使得每個連接節點均作為靜定約 束節點；
[0007] (2)利用動態子結構方法得到三維實體葉片模型縮聚后的剛度矩陣和質量矩陣， 通過本方法提出的耦合方法，與二維軸對稱輪盤模型的剛度矩陣和質量矩陣進行耦合；利 用耦合后的動力學模型進行變維度模型模態分析。
[0008] 本發明中，利用三維實體葉片模型和二維軸對稱輪盤模型的耦合變形計算方法， 求出葉輪在離心力預載荷作用下的靜變形，同時以剛度矩陣應為幾何非線性問題的切線剛 度矩陣，分析葉輪變維度模型離心力場下的預應力模態。
[0009] 本發明的技術方案具體描述如下。
[0010] -、變維度模型中二維軸對稱輪盤模型的建立
[0011] 二維軸對稱輪盤模型在柱坐標系Oxr Θ中定義，該坐標系的三個軸分別稱為X軸 (軸向），r軸（徑向）和Θ軸（周向），其坐標與標準直角坐標系的轉化方式為
[0013] 二維軸對稱輪盤有限元模型在Θ = 0的片面Oxr內定義，由二維軸對稱單元構 成，繞X軸旋轉一周可以得到與三維模型完全一致的回轉體輪盤模型。
[0014] 在柱坐標中，對于周向波數為η回轉體輪盤的變形，稱為η節徑位移模式。其任意 位置（x，r, Θ)上軸向位移ux、徑向位移w和周向位移u e可以用一組定義在Θ =〇子午 面（以下簡稱〇-子午面）的余弦位移函數和正弦位移函數OK表示成
[0016] 對于零節徑位移模式，由于sinn Θ恒為零，則只包含余弦位移函數。
[0017] 柱坐標系下，回轉體輪盤η節徑位移的應變分量為
[0019] 回轉體輪盤的η節徑位移的勢能和動能為
[0021] 其中D。為彈性矩陣，P為密度。
[0022] 0-子午面上的輪盤剖面區域劃分成二維軸對稱有限元網格，共有nD個節點。在此 有限元模型中設置一組與葉片連接的節點，連接節點數為η』。所謂輪盤連接點，指這組節點 繞X軸回轉后的圓弧（簡稱回轉弧）均將與葉片有限元模型中的一個對應節點連接。
[0023] 不妨假設二維軸對稱輪盤模型的前n;個節點即為連接節點，其節點余弦位移向量 (β'°和節點正弦位移向量9丨~1(/ = 1,···，"』>各有六個分量，包括三個平動位移分量和三個 轉動角位移分量。通過在輪盤連接節點與其鄰近的部分內部節點位移分量之間定義線性約 束關系，使得每個連接節點均可作為靜定約束節點，為葉盤耦合提供條件。其他節點的余弦 位移向量WivWp正弦位移向量= 無特殊限制，參照常規的有限元建模 方法。
[0024] 利用有限元插值，可將輪盤的余弦位移函數和正弦位移函數離散成
[0027] 其中，N(D)(x，r)為形函數
[0029] 這樣，整個輪盤的位移函數均可由q(D)= {q (D'~，q(D's)T}T表示為
[0031] 對于零節徑位移模式，則位移向量q?只包括q ([U)。對于不同類型的二維軸對稱 單元，將式（8)代入勢能和動能表達式（4)，可得到二維軸對稱單元η節徑位移模式的單元 剛度矩陣和單元質量矩陣。
[0032] 單元剛度矩陣為
[0037] 其中D。為彈性矩陣，η P為單元節點個數。
[0038] 單元質量矩陣為
[0040] 單元切線剛度矩陣推導如下：
[0041] 柱坐標內位移梯度公式如式（14)所示
[0043] 將式⑶代入式（14)可得
[0049] 利用式（15)、式（16)和式（17)可以得到
[0051] 其中G矩陣可以寫成余弦分量6^和正弦分量G (s)的形式。
[0052] 定義矩陣M。為
[0057] 將式（8)代入式（22)可得各應變分量，再代入式（21)可得各應力分量。則單元 的預應力切線剛度矩陣為
[0058] KTe= π / / (G (c)TM0G(c)+G(s)TM0G (s))rdrdx (23)
[0059] 通過組裝可以得到二維軸對稱模型的剛度矩陣和質量矩陣。由于描述回轉體輪盤 變形的節點位移向量q (D'd和q (D'S)均定義在子午面Oxr上，向量維數遠小于完整的三維輪 盤模型。
[0060] 二、變維度模型中三維葉片模型的建立
[0061] 假設完整葉輪模型中只有一組葉片，葉片周向個數為N，將其繞轉軸逆時針依次從 0到N-I編號，其中起點的0號葉片任意指定。
[0062] 將0號三維實體葉片在直角坐標系Oxyz中建模，其坐標原點和X軸與要求2中二 維軸對稱輪盤模型相同，且y軸與要求2中Θ = 〇平面內的r軸相同。〇號葉片的位置應 與二維軸對稱輪盤模型旋轉得到的回轉體輪盤相協調。
[0063] 在0號葉片上定義余弦位移函數<