一種有限變形下三維隨機非均質材料的熱彈性均化方法
【技術領域】
[0001] 本發明涉及復合材料計算力學，具體地說是針對一種有限變形下三維隨機非均質 材料的熱彈性均化方法。
【背景技術】
[0002] 對非均質材料的研究和分析是一個經典的問題，在連續介質力學范圍內，存在著 宏觀力學和細觀力學兩種研究方法。宏觀力學方法著重于研究由復合材料組成的結構（如 層合板）的性能，如剛度、強度、熱應力的計算等；細觀力學方法主要在細觀結構尺度上研 究各相材料的相互作用，以及建立材料宏觀性能與細觀結構參數之間的關系。這里的宏觀 性能也稱為有效性質，是指能夠在宏觀尺度上實驗測量的材料性能，包括有效彈性常數、有 效傳導率等。
[0003] 由于非均質材料的宏觀長度尺寸顯著地大于微尺度下不同組分的長度尺度，若對 所有微尺度組分均采用顯式求解，無論是解析法還是數值解法，都是極具挑戰性且代價昂 貴的工作。一種顯著減少分析此類問題所需成本的方法就是用有效均質材料替代原先的非 均質材料并通過構建反映宏觀性質的有效本構方程進而獲得材料的宏觀有效性質，即均化 法（如圖1所示）。該方法于20世紀70年代由法國科學家提出并應用到具有周期性結構 的材料分析中，通過使用勢能將材料的有效特征量引入并進行求解。此方法使用了從材料 中取出的一個表征體積單元（RVE:Representative Volume Element)。因其可以極大地減 少復合設計參數的數量，且隨著工程需求的變化，該方法得到不斷發展，特別是將有限元方 法與之結合后，形成了目前國際上多尺度分析非均質材料性質的最有效方法之一，期間我 國著名學者劉書田、崔俊芝和張洪武等人也做出了重要的貢獻，并用其來預測材料的彈性 常數、導熱系數、熱膨脹系數，以及彈塑性問題、黏彈性問題等。
[0004] 而對于非均質材料在多物理場中的均質化問題，前人已經對線性熱彈性情況進行 了探索。Rosen、Hashin和Torquato等人較早得出并使用了等效比熱及熱膨脹系數的邊 界值。然而，求得這種邊界值在有限變形條件下卻具有較大難度，即使是純力學分析的情 況。目前，研究的重心在于表征非均質材料的宏觀尺度熱彈性響應方面。出于此種目的， Francfort提出了線性熱彈性周期介質的均化方法。此方法后又經L' Hostis和Devries、 Yu和Tang、Terada等多人引用及發展。此外Ghosh和Liu提出了基于微極理論的均化方 法。
[0005] 綜上可知，線性情況下非均質材料的熱彈性均化問題已經有所成就。但是，具有較 大溫度偏移的有限變形情況卻鮮有發展。Laschet和Alzina等人導出了忽略了變形相位的 非線性熱傳導方程。另外，如果忽略能量平衡的均化，則可對非線性力學分析中的熱誘導效 應進行分析。這方面的研究起始于Aboudi和Arnold，此二者建立了均化的近似解法。此 外，Khisaeva和Osroja-Starzewski及Miehe等人在這方面也有所貢獻，但是只有Aboudi 及Ozdemir等人較完整地提出了非均質材料在親合場中有限熱彈性分析的框架。
【發明內容】
[0006] 基于傳統均勻化方法的不足之處，本發明在有限變形條件下，對非均質材料微觀 結構在熱彈性物理場中的熱力學響應進行了分析，并提出了非均質材料的熱彈性隨機均化 框架。基于熱彈性力學，提出了用于均化法的基本尺度轉換方法。施加宏觀結構溫度以得 到基于溫度場的微觀結構參量，并對材料微觀結構的參數的隨機性與相關性給予了充分考 慮。微觀力學分析步驟可分解為純力學分析及純熱學分析兩步，以此來獲得宏觀尺度的均 化響應。最終得到任意顆粒體積分數情況下的加細數值解，從而得到更為精確的宏觀有效 參數，為新型先進材料和結構的優化設計提供客觀、充分和真實的依據。
[0007] 本發明是通過以下技術方案來解決的：
[0008] -種有限變形下三維隨機非均質材料的熱彈性均化方法，該方法包括下述步驟：
[0009] 1)基于隨機序列添加法（RSA)使用FORTRAN語言構建顆粒隨機分布的復合材料表 征體積單元（RVE)的三維數值模型；
[0010] 對含不規則顆粒夾雜的復合材料，其顆粒形狀通過設置不同的邊界曲線來描繪； 顆粒中心點的坐標通過隨機數產生；
[0011] 2)對顆粒隨機分布的復合材料表征體積單元（RVE)三維數值模型進行有限元分 析計算，求得表征體積單元（RVE)數值模型有效性質的數值解；
[0012] ①對表征體積單元（RVE)進行網格劃分；
[0013] ②對基體與顆粒組成的隨機分布的復合材料的界面施加熱力學邊界條件，求得有 限元方法下表征體積單元（RVE)有效熱力學性質的數值解；
[0014] 3)建立隨機均化模型求解復合材料的宏觀有效性質；
[0015] 針對顆粒隨機分布的復合材料表征體積單元（RVE)三維數值模型中的未知參數， 選取樣本空間n，對n個顆粒隨機分布的復合材料表征體積單元（RVE)，經計算后得到一系 列的隨機的數值解，運用數理統計的方法對這些數值解進行統計處理，并將數理統計的平 均值作為顆粒隨機分布的復合材料宏觀有效性質的預測值。
[0016] 進一步地，所述步驟1)中，基于隨機序列添加法（RSA)方法使用FORTRAN語言構 建顆粒隨機分布的復合材料表征體積單元（RVE)三維數值模型，是在三維基體材料中逐個 生成球形或橢球形顆粒夾雜，且任意兩個顆粒的中心距必須大于或等于顆粒直徑，即顆粒 不能重疊。
[0017] 進一步地，所述步驟1)中，采用隨機序列添加法構建顆粒隨機分布的復合材料表 征體積單元（RVE)三維數值模型，包括下述步驟：
[0018] la)根據顆粒體積分數求％和顆粒數N p求顆粒半徑R :
[0020]Ib)利用隨機數生成初始顆粒P1的中心點坐標（X i，yi，Z1)，生成第二個顆粒？2的 中心點坐標（x2, y2, Z2)，計算（P^P2)的中心距L12:
[0022] Ic)若L12S 2R，則第二個顆粒滿足要求，接著生成第三個顆粒P 3且判斷（P P3) 的中心距L13、（P2，P3)的中心距L 23是否均大于2R;若L12〈2R，則重新生成第二個顆粒卩2直 至不發生顆粒重疊為止。
[0023] 進一步地，所述步驟2)中，施加熱力學邊界條件，求得有限元方法下表征體積單 元（RVE)有效熱力學性質的數值解，通過下述方式實現：
[0024] 2a)對表征體積單元RVE進行網格劃分，選用八節點六面體單元；
[0025] 2b)對于施加于非均質材料；^_上的普通熱力學邊界值問題，其在參考構型?^上 的線性動量平衡方程為：
[0026] Div[jP] + 凡/ =錢龍 、3、
[0027] 將其解與能量平衡方程耦合得：
[0028] Divf^il]+ /?0r (：4)
[0029] 其中，Div[ ?]表示散度，P為第一皮奧拉-基爾霍夫應力，P。為參考質量密度，X 是位置矢量，e是7?單位體積上的內能，F是變形梯度，q。表示熱流量矢量，f(r)是獨立于 變形的單位質量體應力，r表示材料單位質量的熱供應量；
[0030] 對于施加于非均質材料上的普通熱力學邊界值問題，其本構方程如下：
[0034] 其中，n是私單位體積上的熵，0表示溫度，g。表示溫度梯度，也是 參考構型t單位體積上的亥姆霍茲自由能，熱耗散'Q = JD，J = det [F]，并有 婦J grad[lm外;i()，且及是熱力學邊界值問題中唯一的耗散源。
[0035] 在一級均化框架中，通過使用勒讓德變換妒=5 -兩，得到確保宏觀尺度組分響應 的熱力學相容性條件：
[0037] 其中，c是?。單位體積在恒定變形時的比熱；
[0038] 2c)在有限元求解方法中，表征體積單元RVE有效熱力學性質的數值解微觀結構 通過兩步求解過程得到：力學求解階段及熱學求解階段。
[0039] 在力學求解階段，通過將宏觀變形F施加于原微觀結構％并使溫度保持為I,可 以得到變形后的微觀結構V，并以此得到力學宏觀參量的數值解其方程表示為
[0040] Div[/>(F,6> )]==() (27)
[0041]在熱學求解階段，將宏觀溫度梯度盔施加于固定的微觀結構V，從而得到熱學宏 觀參量的數值解，其方程表示為
[0042] -[)"'[</,>(/?，，兌,，0)]二〇 ( 29).。
[0043] 進一步地，所述步驟3)中，建立隨機均化模型求解復合材料的宏觀有效性質，通 過下述方式實現：
[0044] 3a)建立隨機均勻化模型
[0045] 用基體與顆粒的性質參數Gc1, y k2, y 2, a。，kc, y y 2, y 3,員員2,員3)及顆 粒體積分數^來表示復合材料的宏觀有效性質即有效量，SP
[0046]
[0047] 式中，，代表復合材料的宏觀有效性質，匕和y:分別是基體的體積模量與剪切 模量，匕和y 2分別是顆粒的體積模量與剪切模量；a。是基體的熱膨脹系數，k。是基體的導 熱系數；{ T " T 2, T 3, P n P 2, P 3}是Ogden材料的參數，滿足Zm 為=2 ; f表示各有效 量是關于材料參數 G^1, I^k2, y2, Y1, y2, y3, P1, 02, 03,v2)的函數，下標 FEM