一種利用特征數的威布爾型備件需求量的近似計算方法與流程
本發明屬于備件需求量計算領域，特別是涉及一種利用特征數的威布爾型備件需求量的近似計算方法。
背景技術：
威布爾分布常用來描述因逐漸老化導致故障的元器件壽命，具有這種威布爾分布的元器件為威布爾型單元。威布爾型單元主要適用于機電件，如：滾珠軸承、繼電器、開關、斷路器、某些電容器、電子管、磁控管、電位計、陀螺、電動機、航空發電機、蓄電池、液壓泵、空氣渦輪發動機、齒輪、活門、材料疲勞件等。
在上述單元使用于各類系統中時，需要對其備件的需求量進行預先評估計算，備件是在考慮備件壽命的情況下保障裝備可持續工作的物質條件，在理論上，備件需求量計算涉及多重卷積。由于威布爾分布的多重卷積形式極為復雜，以致難以獲得其多重卷積的數值積分結果。因此，在工程上，一般都采用近似方法來計算威布爾型備件需求量(例如指數近似、正態近似)，但目前在工程中使用的近似方法誤差較大，其中指數近似是在威布爾形狀參數接近于1的時候計算效果好，正態近似只在威布爾形狀參數大于3，并且還要保證近似計算方法合理才能達到較好的計算效果，上述計算方式不僅計算過程復雜，并且不能有效覆蓋形狀參數的可能取值范圍的所有情況，使得不能執行有效的備件需求量的計算。
技術實現要素：
針對現有技術的以上缺陷或改進需求，本發明提供了一種利用特征數的威布爾型備件需求量的近似計算方法，利用威布爾型單元的壽命分布參數來計算伽瑪分布和正態分布各自的參數，再分別計算這三種分布各自的偏度和峰度，從中選擇和威布爾分布的偏度和峰度更接近的一種分布(伽瑪或正態)，用于近似描述該威布爾型單元壽命，并以此計算備件需求量。
為實現上述目的，按照本發明，提供一種利用特征數的威布爾型備件需求量的近似計算方法，所述威布爾型備件的壽命服從威布爾分布w(α,b)，α、b為威布爾分布參數，α為尺度參數，b為形狀參數；所述特征數為均值、方差、偏度和峰度，其特征在于，該計算方法包括如下步驟：
步驟一：利用所述威布爾分布參數α、b計算伽瑪分布的參數αg、λ，
由威布爾分布的參數α、b，可得其均值為
計算正態分布的參數μ、σ，
當正態分布的參數為μ、σ時，其均值為μ，方差為σ2；按照所求正態分布的均值和方差，與威布爾分布的均值和方差相等的原則，計算出μ、σ，
步驟二：計算偏度和峰度，
依據所述伽瑪分布的參數αg、λ及所述正態分布的參數μ、σ，按下式計算三種分布的所述特征數中的偏度和峰度：
伽瑪分布，偏度為
正態分布，偏度為0，峰度為0；
威布爾分布，偏度為
峰度為
步驟三：按如下規則比較所述特征數中的偏度和峰度，
判斷所述步驟二中的伽瑪分布與正態分布中偏度和峰度與所述威布爾分布的偏度和峰度的絕對差值情況；
步驟三：計算備件需求量，
以所述偏度特征數的絕對差值為首要比較條件，相比正態分布，若所述步驟三所得伽瑪分布與所述威布爾分布的偏度絕對差值較小，則按照下式計算備件保障概率：
否則，按照下式計算備件保障概率ps：
其中，tw為保障任務時間，所述保障任務時間為所述備件完成任務的預期累積工作時間；
設置所述備件保障概率閾值，令j從0開始逐一遞增，使得所述保障概率ps大于或等于所述概率閾值的j值即為計算出的備件需求量。
總體而言，通過本發明所構思的以上技術方案與現有技術相比，具有以下有益效果：
(1)現有技術中也有近似方法，但是由于存在近似程度無法預估的問題導致算法的精度無法達到有效的目標，本發明率先提出了采用兩種分布來執行近似計算，并且計算出偏度和峰度，依據兩個指標上挑選近似方案，并且尤其是偏度上來進行判斷，這樣可以比較出近似程度，從而選取相應的近似分布執行備件需求量的計算；
(2)在現有技術的結論上，在威布爾的形狀參數取極端時，一個極端趨向于伽瑪，另外一個極端趨向于正態，在這種情況下，利用偏度和峰度這兩個指標來選擇趨向的近似，能夠顯著地提高計算的精確程度；
(3)按照本發明的近似方法，在近似成伽瑪和正態近似分布的時候，提出了參數轉化公式，按照上述的參數轉化公式直接執行計算，無需迭代過程，從而節約了復雜的迭代過程；
(4)本發明還提出了參數轉化公式的近似原則，即不管是伽瑪或者是正態近似，務必滿足在均值和方差這兩個指標上與威布爾分布相等，對任何一個分布，都可以使用均值、方差、偏度和峰度來描述，本發明的計算方法中采用均值和方差相等，利用偏度和峰度作為近似計算指標的約定，從而簡化了計算過程并且提高了近似的精度。
附圖說明
圖1為威布爾分布的形狀參數為1.3情況下的三種分布的概率密度曲線對比情況；
圖2為威布爾分布的形狀參數為1.9情況下的三種分布的概率密度曲線對比情況；
圖3為威布爾分布的形狀參數為2.5情況下的三種分布的概率密度曲線對比情況；
圖4為威布爾分布的形狀參數為3.5情況下的三種分布的概率密度曲線對比情況。
具體實施方式
為了使本發明的目的、技術方案及優點更加清楚明白，以下結合附圖及實施例，對本發明進行進一步詳細說明。應當理解，此處所描述的具體實施例僅僅用以解釋本發明，并不用于限定本發明。此外，下面所描述的本發明各個實施方式中所涉及到的技術特征只要彼此之間未構成沖突就可以相互組合。
記隨機變量x服從威布爾分布w(α,b)，威布爾分布密度函數如式(1)，
其中α＞0為尺度參數，b＞0為形狀參數。
記隨機變量x服從伽瑪分布ga(αg,λ)，其中αg＞0為形狀參數，λ＞0為尺度參數，伽瑪分布密度函數如式(2)。
式(2)中γ(αg)為伽瑪函數，且
記隨機變量x服從正態分布n(μ,σ2)，其中μ為位置參數，μ的物理含義為壽命均值；σ為尺度參數，σ2的物理含義為壽命的方差。正態分布密度函數如式(3)。
對于壽命服從威布爾分布w(α,b)的單元，本發明計算備件需求量的步驟如下：
1)計算伽瑪分布的參數αg、λ
按照所求伽瑪分布的均值和方差，與威布爾分布的均值和方差相等的原則，按式(4)計算αg、λ，
2)計算正態分布的參數μ、σ
按照所求正態分布的均值和方差，與威布爾分布的均值和方差相等的原則，按式(5)計算μ、σ
3)計算偏度和峰度
已知伽瑪分布的參數αg、λ，正態分布的參數μ、σ和威布爾分布α、b參數，按表1計算三種分布的偏度和峰度。
表1偏度和峰度的計算式
4)計算備件需求量
4.1)在偏度和峰度這兩個特征數上，相比正態分布，若步驟3)所得伽瑪分布更接近威布爾分布的偏度和峰度(以偏度的誤差絕對值指標為主)，則按照式(6)計算備件保障概率；否則，按照式(7)計算備件保障概率ps
式(6)、(7)中，tw為保障任務時間。
4.2)設置所述單元保障概率閾值，令j從0開始逐一遞增，使得所述保障概率ps大于或等于所述概率閾值的j值即為所計算出的備件需求量。
描述隨機變量的常見工具除了分布函數、概率密度函數外，也可用均值、方差、偏度和峰度這4種特征數來進行描述。這4種特征數由該分布的1～4階矩決定。在大部分情況下，只要知道1階矩到4階矩就已經足夠描述分布的情況。因此，通過比較兩種分布在均值、方差、偏度和峰度這4種特征數的差異程度，可以了解二者的相似程度。
由于本發明的方法采用“令伽瑪/正態分布的均值和方差，與原威布爾分布的均值和方差都相等”的原則，因此首先保證了所求得的伽瑪/正態分布與原威布爾分布具有一定的相似性，再通過進一步比較偏度和峰度，從中選擇更為相似的近似分布結果。表3列出了威布爾形狀參數1.1～4.1范圍內，按照“令伽瑪/正態分布的均值和方差，與原威布爾分布的均值和方差都相等”原則，計算伽瑪和正態分布參數后，這三種分布的偏度和峰度情況。
表3偏度和峰度結果
從表2可以看出，當威布爾分布的形狀參數在2.1以內時，伽瑪分布比正態分布更接近威布爾分布。圖1～圖4展示了威布爾分布的形狀參數4種典型取值時，三種分布的概率密度曲線對比情況，與上述結論相符。
為了解釋上述算法的準確性，本實施例1執行上述方法來進行備件需求量的計算，并且利用以下備件保障仿真模型開展仿真驗證。
對于某個不可修單元，配置n個備件，該類單元的壽命服從威布爾分布w(α,b)，保障任務時間記為tw，則模擬一次備件保障的過程如下：
(1)產生1+n個隨機數ti(1≤i≤1+n)，隨機數ti服從威布爾分布w(α,b)；
(2)計算累積工作時間
(3)當simt≥tw時，保障任務成功，輸出結果flag＝1；否則保障任務失敗，輸出結果flag＝0。
多次重復運行上述備件保障仿真模型，對所有模擬結果flag進行統計，flag均值即備件保障概率。
實施例1：某單元壽命服從威布爾分布w(200,1.3)，保障任務時間為1000h，要求備件保障概率不小于0.8,計算備件需求量。
1)計算伽瑪分布的參數αg、λ
按照所求伽瑪分布的均值和方差，與威布爾分布的均值和方差相等的原則，計算αg、λ
2)計算正態分布的參數μ、σ
按照所求正態分布的均值和方差，與威布爾分布的均值和方差相等的原則，計算μ、σ
3)計算偏度和峰度
伽瑪分布ga(1.66,0.009)的偏度、峰度為1.55、3.61；
正態分布n(184.7,143.32)的偏度、峰度為0、0；
威布爾分布w(200,1.3)的偏度、峰度為1.35、2.43。
4)計算備件需求量
4.1)經比較三種分布的偏度和峰度，相比正態分布，伽瑪分布ga(1.66,0.009)與威布爾分布w(200,1.3)的相似程度更高，因此按下式計算備件保障概率：
4.2)令j從0開始逐一遞增，使得所述保障概率ps大于或等于所述概率閾值的j值即為所計算出的備件需求量。計算過程中的結果如表4.
表4計算過程的結果
從表4可知，算例1的備件需求量為7。
實施例2：某單元壽命服從威布爾分布w(200,2.9)，保障任務時間為1000h，要求備件保障概率不小于0.8,計算備件需求量。
1)計算伽瑪分布的參數αg、λ
按照所求伽瑪分布的均值和方差，與威布爾分布的均值和方差相等的原則，計算αg、λ
2)計算正態分布的參數μ、σ
按照所求正態分布的均值和方差，與威布爾分布的均值和方差相等的原則，計算μ、σ
3)計算偏度和峰度
伽瑪分布ga(7.12,0.04)的偏度、峰度為0.75、0.84；
正態分布n(178.3,66.82)的偏度、峰度為0、0；
威布爾分布w(200,2.9)的偏度、峰度為0.20、-0.26。
4)計算備件需求量
4.1)經比較三種分布的偏度和峰度，相比伽瑪分布，正態分布n(178.3,66.82)與威布爾分布w(200,2.9)的相似程度更高，因此按下式計算備件保障概率：
4.2)令j從0開始逐一遞增，使得所述保障概率ps大于或等于所述概率閾值的j值即為所計算出的備件需求量。計算過程中的結果如表5.
表5計算過程的結果
從表5可知，算例2的備件需求量為6。
本領域的技術人員容易理解，以上所述僅為本發明的較佳實施例而已，并不用以限制本發明，凡在本發明的精神和原則之內所作的任何修改、等同替換和改進等，均應包含在本發明的保護范圍之內。
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