對多普勒信息不敏感的低旁瓣波形設計方法與流程

本發明屬于波形設計技術領域，具體涉及一種對多普勒信息不敏感的低旁瓣波形設計方法。

背景技術：

雷達的工作原理是：發射電磁波對探測區域進行照射并接收回波，通過對比發射信號與回波信號的頻率、時延等推測計算探測目標的距離、位置、高度、角度、速度等信息。如圖1所示的雷達探測工作原理的示意圖。因此，探測波形對于雷達探測性能至關重要。自相關函數旁瓣越低的探測信號，雷達探測的精度越高。

目前，對運動目標的檢測普遍采用的是線性或非線性調頻信號。線性或非線性調頻信號的設計簡單。線性調頻信號的“時延-多普勒”自相關見圖2。圖2中可見，其時延因子與多普勒因子在特定范圍內的旁瓣會出現尖峰；線性或非線性調頻信號的起始頻率、終止頻率與調頻函數一旦被對方確認后，發射信號對于對方將無任何秘密而言。

考慮到實際應用中，只需要探測感興趣區域的目標信息，對此，Hao He及國際雷達信號處理專家Jian Li教授、PetreStoica教授的著作《Waveform Design for Active Sensing Systems-A computational approach》(Cambridge University Press，July，2011，pp.88-106)對感興趣的“時延-多普勒”區域提出了低自相關旁瓣設計方法(本發明稱其為He-Li-Stoica方法)。He-Li-Stoica方法可以看做是在“時延-多普勒”區域上開了個窗，使得探測波形在該窗口內的整體旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level，ISL)取得極小值。仿真結果見圖3。該方法在窗口內的整體旁瓣電平較低，但個別“時延-多普勒”上(尤其是窗口邊緣)的自相關旁瓣較大。在實際探測工作中，目標可能出現在該窗口內的任意“時延-多普勒”上，因此，較大的個別“時延-多普勒”上的自相關旁瓣影響實際探測的性能。

因此，上述波形設計方法都存在一定的局限性和不可靠性。

技術實現要素：

本發明的目的是提供一種對多普勒信息不敏感的低旁瓣波形設計方法，解決了現有的目標檢測波形設計方法存在的個別“時延-多普勒”上的自相關旁瓣較大的問題。

本發明所采用的技術方案是，對多普勒信息不敏感的低旁瓣波形設計方法，具體按照以下步驟實施：

步驟1：構建“時延-多普勒”范圍內低自相關旁瓣波形設計的復數數學模型，對該數學模型的系數矩陣進行分割得到矩陣的實系數矩陣與虛系數矩陣并將非正定的實系數矩陣與虛系數矩陣轉換為正定矩陣；

步驟2：使用ADMM方法對目標函數進行變換求解引入變量；

步驟3：用分段最小值法求解不等式約束問題；

步驟4：使用MM方法得到滿足約束條件的探測波形x；

步驟5：重復步驟3、4直至x收斂。

本發明的有益效果是：本發明對多普勒信息不敏感的低旁瓣波形設計方法，所設計的波形在一定“時延-多普勒”區域內的每個自相關旁瓣很小，均小于-40dB，滿足特定距離和速度范圍內運動目標的高分辨率探測需求，同時，本發明方法設計的波形具有多樣性，因此還具備反偵察特性。

附圖說明

圖1是雷達探測工作原理示意圖；

圖2是線性調頻信號的自相關三維圖；

圖3是He-Li-Stoica方法設計的波形的自相關三維圖；

圖4是本發明方法的自相關旁瓣迭代結果圖；

圖5是本發明方法設計的波形的自相關三維圖。

具體實施方式

下面結合附圖和具體實施方式對本發明進行詳細說明。

本發明對多普勒信息不敏感的低旁瓣波形設計方法，首先，構建“時延-多普勒”范圍內低自相關旁瓣波形設計的復數數學模型，該復數模型的目標函數是一元一次函數，約束條件中包含有多元四次方不等式，對該數學模型的系數矩陣進行分割得到矩陣的實系數矩陣與虛系數矩陣并將非正定的實系數矩陣與虛系數矩陣轉換為正定矩陣；其次，使用ADMM框架將上述模型分解為若干模型，并分別用分段最小值法與MM方法解決不等式約束與多元四次方優化問題，解出自相關旁瓣約束變量ε、替代變量F_lk、G_lk與信號變量從而得到滿足約束條件的探測波形x。

本發明對多普勒信息不敏感的低旁瓣波形設計方法，就是設計一個長度為N的模為1的信號序列x＝{x₁,...,x_N}，使得信號序列在指定范圍內多普勒與時延的自相關r的模滿足|r|≤ε。

具體實施過程為：

步驟1：數據與模型預處理

將“時延-多普勒”范圍內的自相關函數的實部與虛部進行分離。根據給定的時延范圍與多普勒范圍，計算范圍內的不同時延與多普勒對應的實部系數矩陣與虛部系數矩陣的正交分解向量。此時，自相關由實部系數矩陣與虛部系數矩陣表示。對得到的各正交分解向量進行實部與虛部的分離，構成新的系數矩陣。

僅考慮時延K_k∈{K_d,...,K_u}(k＝1,...,K,0<K_d<K_u<N)時，非周期自相關函數

同時考慮時延K_k與多普勒L_l∈{L_d,...,L_u}(l＝1,...,L,L_d<L_u)因素時，非周期自相關函數寫為：

r_lk＝x^HA_lkx (1)

其中，

x為長度為N的模為1的信號序列，x＝[x₁,...,x_N]^T,lk＝1,...,LK,LK＝L×K

算子diag(·)是將向量擴展為對角矩陣，使得D_l(n,n)＝d_l(n)。

那么，滿足要求的波形設計的數學描述為：

對系數矩陣A_lk進行分割得到：

其中，

顯然，RE_lk與IM_lk滿足：

1)

2)x^HRE_lkx與x^HIM_lkx均為實數。

那么，自相關函數r_lk與RE_lk、IM_lk滿足關系：

4|r_lk|²＝(x^HRE_lkx)²+(x^HIM_lkx)² (4)

為了后續使用MM方法，需要將非正定的實系數矩陣與虛系數矩陣轉換為正定矩陣，即系數矩陣的特征值均大于零。詳細過程見式(5)與式(6)。

對系數矩陣RE_lk進行特征分解，得到特征根{λ₁,...,λ_N},記MR_lk＝min{λ₁,...,λ_N},其中min{·}表示求·中的最小元素。

若MR_lk≤0,則：

MR_lk＝MR_lk-0.1

若MR_lk>0,則：

其中E_N為N階單位矩陣，即：

顯然，是正定矩陣。正定矩陣均可分解為一對對稱矩陣的乘積，因此正定矩陣分解為：

其中，

同理，系數矩陣IM_lk對應的正定矩陣分解為：

其中，

系數矩陣IM_lk的特征根的最小值,記為MI_lk。

那么式(1)可以表示為：

根據信號序列x的模為1即x^Hx＝1可得

式(8)可以寫成另外一種實數形式：

其中，Re(·)與Im(·)分別表示·的實部與虛部。

則是實對稱矩陣，即：

證明：由式(6.1)有

則Re(W_lk)^T＝Re(W_lk),Im(W_lk)^T＝-Im(W_lk)

同理可證

由式(9)，式(4)可以表示為：

令替代變量F_lk與G_lk分別為則式(10)可以表示為：

則式(2)表示為：

步驟2：基于步驟1得到的系數矩陣，使用ADMM方法對目標函數進行變換求解引入變量，即使用ADMM方法來求解規劃式(12)。

引入拉格朗日乘子α_lk,β_lk與ADMM乘子ρ>0，式(12)可表示為

步驟3：使用分段最小值法求解不等式約束問題，從而更新ε(t+1),F_lk(t+1),G_lk(t+1),α_lk(t+1),β_lk(t+1)

①更新F_lk(t+1),G_lk(t+1)

約束與變量無關，它們僅在迭代求解F_lk,G_lk的時候起作用，而約束與變量F_lk與G_lk無關，它們僅在迭代求解的時候起作用。所以對于給定t次的求解ε(t+1),F_lk(t+1),G_lk(t+1)的問題，式(13)可表示為：

記

那么式(14)可以簡化為：

由式(14)的約束條件可知，變量F_lk,G_lk的取值是受變量ε約束的。而對于給定的ε，式(14)的F_lk(t+1),G_lk(t+1)為：

其中，

顯然，記為S_lk，則：

②更新ε(t+1)

給定t次的求解ε(t+1)。將式(17)、(18)代入式(16)得：

忽略掉常數項，式(19)簡化為：

其中，

顯然，因為式(18)的分段情況，一般情況下式(20)是不連續的，需要分段討論其極小值點。分段討論式(20)時，分段的分割點取值范圍為其中，ε_max是代入原問題得到的ε，ε₀是大于0且小于ε_max與的實數。

在區間[ε_d,ε_u]上，ρ>0且S_lk≥0，所以A,B>0，故式(20)取極小值時的ε為：

將式(21)代入式(20)得到L在各段的極小值{L₁,...,L_m}，選取{L₁,...,L_m}中最小值對應的ε為ε(t+1)。

③更新拉格朗日乘子α_lk(t+1),β_lk(t+1)

步驟4：推導目標函數及目標函數的最優函數，從而將四次型目標函數降冪為一次型函數，然后在一次型最優函數的基礎上，使用MM方法求解滿足約束條件的信號序列。即已知α_lk(t+1)，ε(t+1)，β_lk(t+1)，F_lk(t+1)，G_lk(t+1)，求解

步驟4.1：推導目標函數

同理于式(14)，求解時，式(13)可寫為：

將式(23)中的常數項去掉后，得到關于的目標函數：

步驟4.2：求解目標函數(24)的優化函數

顯然，目標函數(24)為的四次方函數，為了求解找到式(24)的優化函數，使得該優化函數是的一次函數，再使用MM方法求解

式(24)右端第一項有：

其中，因為是實對稱矩陣，故而是實對稱矩陣，矩陣

也是對稱矩陣。

因為，二次型函數f(x)＝x^HAx，若A,B是n×n的自共軛矩陣且A≤B，那么

根據式(27)

其中，是的最大特征根，

因為所以式(28)的第二項是常數將式(28)的常數項用C_W1表示，即：

則式(28)可寫為：

又

其中，

與均為實對稱矩陣，故M₁是實對稱矩陣。

那么根據式(27)，若是M₁的最大特征根，則：

令

則

同理，式(24)右端第二項

其中，是M₁的最大特征根，是的最大特征根。

式(24)右端第三項的優化函數的推導過程類似于式(31)，優化函數為：

其中，

所以，式(24)的優化函數為：

步驟4.3：更新

式(36)的拉格朗日函數為：

對拉格朗日函數(37)關于求偏導

因為是關于的一次函數，所以其對的偏導是常數，記為d_n，令則：

將式(39)代入約束條件得

將式(40)代入式(36)目標函數可知，μ_n取值為因此

將式(41)計算得到的代入

中，得到本輪迭代的x。

步驟5：重復步驟3-4，直至x收斂。

實施例

為了證明本發明方法的有效性，把He-Li-Stoica方法產生的波形、線性調頻信號波形與本發明方法產生的波形做比較，下面結合具體實例以及圖表進行詳細說明。

我們仿真設計長度為N＝128的波形，要求其在“時延-多普勒”區域[L_min,L_max]×[K_min,K_max]為[-2,2]×[-8,8]內的探測波形的自相關旁瓣低于-40dB，ρ＝0.1。

步驟1：構建模型基本框架并初始化數據。根據[L_min,L_max]×[K_min,K_max]的值設定LK＝(L_max-L_min)×(K_max-K_min)，那么非周期的“時延-多普勒”的低自相關旁瓣的探測波形x＝{x₁,...,x_N}的設計問題定義為：

其中x＝[x₁ ... x_N]^T,A_lk是已知的矩陣，其具體形式為

隨機初始化x(0)，得

根據式(2)得到初始自相關函數的模|r_lk(0)|以及初始ε(0)＝max{|r_lk(0)|,lk＝1,...,LK}。其中，MR_lk,MI_lk,的計算步驟如下：

對系數矩陣A_lk進行分割得到為了后續使用MM方法，需要將非正定的實系數矩陣與虛系數矩陣轉換為正定矩陣，即系數矩陣的特征值均大于零。對矩陣RE_lk進行特征分解，得到特征根{λ₁,...,λ_N},記MR_lk＝min{λ₁,...,λ_N},其中min{·}表示求·中的最小元素。若MR_lk≤0,則MR_lk＝MR_lk-0.1,若MR_lk>0,則MR_lk＝0,其中N階單位矩陣分解為其中同理，系數矩陣IM_lk對應的正定矩陣分解為其中系數矩陣IM_lk的特征根的最小值,記為MI_lk。

步驟2：構建低自相關旁瓣的“時延-多普勒”波形設計問題的ADMM框架，并初始化ADMM相應的參數。

引入拉格朗日乘子α_lk,β_lk、替代變量與ADMM乘子ρ>0，波形設計問題(1)可表示為

其中，

初始化F_lk(0),G_lk(0)：

隨機初始化α_lk(0),β_lk(0)。

步驟3、使用分段最小值法求解不等式約束問題，進而更新ε(t+1),F_lk(t+1),G_lk(t+1),α_lk(t+1),β_lk(t+1),lk＝1,...,LK

對于給定的ε(t)，更新替代變量F_lk(t+1),G_lk(t+1)為

其中

給定t次迭代的求解ε(t+1)，具體步驟如下。

在ε的取值區間[ε_d,ε_u]上

其中

因為ρ>0且S_lk≥0，所以A,B>0，故取極小值時的ε為

根據上述步驟，計算L_ε在ε的所有可能取值區間[ε_d,ε_u]上的極小值{L₁,...,L_m}，選取{L₁,...,L_m}中最小值對應的ε為ε(t+1)。

更新拉格朗日乘子α_lk(t+1),β_lk(t+1),lk＝1,...,LK為

步驟4、使用MM方法求解四次方優化問題。已知ε(t+1)，α_lk(t+1)，β_lk(t+1)，F_lk(t+1)，G_lk(t+1)，lk＝1,...,LK，更新為

其中，d_n是拉格朗日函數

對的偏導。

上述拉格朗日函數中，

和分別是M₁和M₂的最大特征根，和是和的最大特征根。

步驟5、重復步驟3至步驟4，直至x收斂。

圖4是本發明方法的自相關旁瓣迭代結果圖。設計得到的波形的“時延-多普勒”[L_min,L_max]×[K_min,K_max]為[-2,2]×[-8,8]的自相關旁瓣三維圖見圖5。