旋轉電磁電機的控制系統及方法

文檔序號：7338229閱讀：478來源：國知局

專利名稱：旋轉電磁電機的控制系統及方法
技術領域：
本發明總體上涉及控制諸如永磁電機、開關磁阻電機以及混合電機之類的電磁旋轉電機，更具體地說，涉及自適應、平滑轉矩地控制此類電機。
背景技術：
通常，許多電磁電機，特別是采用永磁體的電動機在轉子相對定子(其線圈通常以正弦波來激勵)旋轉時表現出轉矩不規則性。這種不規則性稱為“轉矩脈動”。這些轉矩不規則性可能由給定電機的物理構造引起。例如，使用軸承來支撐轉子會引起轉矩不規則性。此外，由于采用磁體的電機的電磁特性，轉子趨向于相對定子位于特定的角度位置。由電磁電機的電磁特性導致的轉矩不規則性通常稱為“齒槽效應”不規則性，并且由此造成的轉子的不均勻旋轉或不均勻轉矩輸出稱為“齒槽效應”。齒槽效應可與電流無關，也可與電流有關。當電機不通電旋轉時記錄第一分量。當電流流動(齒槽效應隨著定子電流大小的增加而增加)時出現第二分量。
在采用永磁體的旋轉電磁電機中，齒槽效應通常由電機的物理構造引起。例如，由磁體導致的不規則性可能是因為磁體在轉子上或轉子中放置的不正確，或因為與磁體如何被激勵有關的某種不規則。而且，具有不連續南北外極(outer pole)的轉子的使用會導致轉子周圍的磁通量周向分布不平滑，而且是斷續的。此外，此類電機常用的定子以這樣的方式形成由定子繞組產生的磁通量在定子周圍提供不平滑的通量分布。此類轉子和定子的組合以及伴隨的不平滑磁通分布在此類電機的轉矩輸出中產生了所不希望的不規則性。轉子輸出不均勻性也可能由特定電機中產生的反電勢諧波引起。
獲得平滑轉矩會因其他因素進一步復雜化。例如，電機之間的制造差異使得很難(如果不是不可能)將一個通用解決方法應用于一組電機。這種制造差異包括磁體在轉子上的放置或錯誤放置(如果是表面安裝)以及由磁化過程本身和定子線圈繞組中的不規則性引入的差異。其他差異原因包括磁體受損或碎裂的情況。進而，甚至在單個電機內也存在差異。例如，在電機的各相之間以及電機的整個機械循環中通常存在差異。而且，隨著電機的老化，其行為也會改變。
特定類型電磁電機的相繞組至少部分地作為瞬時轉子位置的函數被激勵。因此，此類電機通常使用轉子位置傳感器，它能夠提供輸出，指示相對于定子的轉子位置。控制器使用該信息來產生用于激勵和去激勵相繞組的控制信號。轉子角度位置測量中的誤差也是轉矩脈動的原因之一。
對于許多電機應用，由轉矩不規則性引起的轉子旋轉中的輕微不均勻無足輕重或無關緊要。例如，在驅動大型負載的大型電機中，輸出轉矩的輕微變化不會顯著影響轉子速度，并且轉子速度中任何輕微的變化不會顯著影響該由電機驅動的系統。這假定電機轉動時轉矩變化與負載相比很小。在其他應用中(其中轉子的旋轉或電機的轉矩輸出必須被精確地控制或必須均勻)，這種不均勻性是不可接受的。例如，在用于電力轉向系統和磁盤驅動器的伺服電機中，轉子的旋轉輸出或電機的轉矩輸出必須平滑且沒有明顯變化。
現有技術方法在減少電磁電機中轉矩不規則性的不良影響時將重點放在相對復雜的轉子或定子構造上，這些構造被設計成消除否則將增加不規則性的電機物理特性。雖然現有技術的電機構造方法可以導致轉矩不規則性的降低，但是，這些方法需要設計和構造復雜的轉子和定子組件，這些復雜的組件通常難以設計，難以制造，并且其生產比傳統結構的組件昂貴的多。而且，與對類似的傳統電機的期望相比，此類現有技術解決方法所需的許多物理改變會顯著降低所構造電機的效率或其他性能參數。因此，許多嘗試減少轉矩不規則性的現有技術是以犧牲電機性能為代價。
人們也已經進行了將重點放在電機控制方案而非電機構造來降低轉矩脈動的嘗試。例如，基于試驗過程或公知的有關電機電壓、電流和角度位置的物理關系，已經嘗試了各種學習或迭代方案。這些嘗試的解決方法通常對電機的行為進行假定，例如使用線性關系來描述電機磁通，或者將互感磁通的影響看作不重要。而且，現有對轉矩脈動的解決方法通常忽略電機敏感度(對角測量中的不準確性)的影響。為了增加位置測量中的準確性，已嘗試使用復雜的位置傳感器，但這增加了電機的復雜性和成本。
因此，需要一種解決現有技術的缺點的控制系統。

發明內容
在本發明的一個方面中，提供了一種用于控制旋轉電磁電機的系統。旋轉電機(例如永磁電機或開關磁阻電機，或二者的混合)包括具有多個相繞組的定子和相對于該定子旋轉的轉子。驅動裝置被連接到所述相繞組以便激勵所述繞組。所述控制系統包括估計器，該估計器可連接到所述電機以便接收表示相繞組電壓、電流和轉子位置的信號。所述估計器基于接收到的電壓、電流和轉子位置來輸出針對所述電機電氣模型的參數估計。所述電氣模型是描述所述電機電氣行為的數學模型，如電機端子處所示。
轉矩模型接收來自所述估計器的參數估計。通過對所述電氣模型的數學變換，可以推導出所述轉矩模型，并且該轉矩模型描述了所述電機的轉矩特性。使用從所述估計器接收的參數，所述轉矩模型為關聯的轉子位置-相電流組合估計轉矩。控制器具有輸入端子，所述端子用于接收轉矩需求信號和轉子位置信號。所述控制器將控制信號輸出到所述驅動裝置以響應所述轉矩需求信號、轉子位置信號以及所述轉矩模型。在特定實施例中，解算器根據期望的電機行為(例如平滑轉矩和/或對轉子位置測量中誤差的最小敏感度)使用所述轉矩模型來生成激勵電流形狀(current profile)。應特別指出，可以這樣定義所述解算器解具有特定性質。作為電機拖動成本考慮的結果，可能希望只處理最重要的齒槽效應轉矩分量或轉矩脈動。這樣的解能夠被實現。
所述轉矩模型的某些參數無法通過可以立即從電機端子得到的信息來觀測。例如，在采用永磁體的電機中，當轉子旋轉時，電機電流和電壓的改變如何指示或測量電機磁體與它們的相互作用在數學上并不明顯。根據本發明的其他方面，提供了一種確定空載相關的齒槽效應轉矩的方法。轉子以預定的角速度無載旋轉并且測量所述電機端子的電壓和電流。確定與所述電壓和電流測量結果關聯的轉子位置，并且根據所述測量的電壓和轉子位置推導出第一數學模型來描述所述電機的電氣行為。所述第一數學模型被數學地變換以推導出第二數學模型來描述所述電機的轉矩特性。然后激勵所述繞組，以使轉子保持克服所述齒槽效應轉矩的預定位置，并通過所述第二數學模型為所述預定位置計算出所述齒槽效應轉矩。

閱讀以下詳細說明并參考附圖后，本發明的其他目的和優點將變得顯而易見，這些附圖是圖1是根據本發明的諸實施例的示例性旋轉電磁電機系統的框圖；圖2是示出根據本發明的諸實施例的電磁電機控制系統的框圖；圖3是示出用于對在本發明的諸實施例中使用的積分給定(integralgiving)同能量求值的示例性積分路徑的圖；圖4示出了根據本發明為平滑轉矩解決方法生成的電流形狀；以及圖5示出了根據本發明的各方面來控制的電機的轉矩脈動。
雖然本發明可以有各種修改和替代形式，但在附圖中通過實例的方式示出了本發明的具體實施例，并且在本文中對其進行了詳細說明。然而應當理解，本文中對具體實施例的說明并非旨在將本發明限定于所公開的特定形式，而是與之相反，其旨在覆蓋落入由附帶的權利要求限定的本發明的精神和范圍之內的全部修改物、等效物和替代物。
具體實施例方式
下面描述了本發明的示例性實施例。為清晰起見，本說明書中沒有描述實際實施中的全部功能。當然應當理解，在任何此類實際實施例的開發中必須做出大量特定于實施的決策來完成開發人員的特定目標，例如遵循系統相關和業務相關的限制條件，這隨實施方式的不同而不同。而且，可以理解這樣的開發努力可能是復雜而耗時的，但仍將是從本公開受益的本領域技術人員的例行工作。
現在轉到附圖，尤其是圖1，其中示出了根據本公開的特定教導而構造的系統10。其中，所示出的系統10主動地控制提供給電磁電機的電力，從而減少或消除否則將由電機產生的轉矩不規則性的負面影響。
系統10包括電磁電機12和為電磁電機12提供電力的驅動裝置14。圖1中示出的電機12可以包括例如永磁電機、開關磁阻電機或混合電機(永磁和開關磁阻組合)。電機12具有傳統構造，包括旋轉組件(轉子12a)和固定組件(定子12b)。纏繞定子的是許多可激勵的相繞組12c，可以通過將電力施加到電機端子15、16、17來激勵相繞組12c。
驅動裝置14被連接成向電機12的端子15、16和17提供電力。驅動裝置14從控制系統13接收控制輸入，控制系統13被連接成從電機12接收關于轉子位置信息18和激勵反饋19的反饋。可以向控制器13提供其他反饋信息。雖然驅動裝置14以示例的形式示出為提供三個電源端子到電機12，但是可以理解，可以提供更多和更少的電源端子以適合三相以上或三相以下的馬達或電機，或者適合使用各種類型逆變器(例如，具有中性連接)的情況。
激勵反饋19提供對電機12的運行特性的指示，并且可以例如包括有關定子繞組內流動的電流和/或端子15、16和17處的電壓的反饋。可以通過諸如標準的轉子位置探測器和標準的電流/電壓傳感器之類的傳統探測器來探測位置和激勵參數。替代實施例被構想為不直接探測轉子位置和反饋參數，而是通過已知技術對其進行計算或估計。例如，實施例被構想為只有端子電壓已知，或端子電壓與流過電機12定子繞組的電流一起被讀出，讀出的電流和電壓值用于導出轉子位置信息。
控制系統13還接收與期望的電機12輸出參數(如轉子速度、輸出轉矩等)對應的輸入命令信號11。如以下更詳細的描述，驅動裝置14以這樣的方式來響應控制系統13以控制將電源施加到電機12使輸入命令信號11與電機12的相應輸出之間的差最小。在特定實施例中，控制系統13還以這樣的方式主動地控制將電力作為轉子位置的函數施加到電機12獲得所期望的電機12的行為，該行為滿足包括例如轉矩脈動、齒槽效應轉矩、角度敏感度、諧波含量等的一個或多個準則。使用控制系統13主動地獲得所期望的電機行為(而不是嘗試通過復雜的轉子或定子構造獲得這種行為)會導致更佳性能的系統，因為例如可以使用傳統的低成本電機和電機制造技術。
圖2示出了根據本發明示例性實施例的電磁電機系統100。電機系統100包括控制系統13，控制系統13可以由適當編程的數字控制器(例如數字信號處理器(DSP)、微控制器和微處理器)來實現。
控制系統13包括輸入端11，其接收例如表示電機12所需轉矩的信號。轉矩是電流和角度的函數；因此，對于任何特定的轉子角度，都存在一組適當的電流來產生所期望的轉矩。根據轉子角度和所需的轉矩，適當的電流值被發送到驅動裝置14，這本身又為電機12提供必要的電壓來滿足電流需求。
轉子位置反饋18和激勵反饋19(例如電機端子電壓和電流)被提供給估計器30。根據數學上的“習慣做法”，可以規范化電壓和電流值-測量值被除以最大期望值。估計器30計算諸如角速度和相電流的時間導數之類的電機參數。這些值被用于導出和更新描述電機12的電氣行為的第一數學模型。所述電氣模型是這樣的結構該結構可以準確地代表諸如阻抗、反電勢(“BEMF”)、自感和互感、齒槽效應之類的電機特性(取決于所采用的電機12的類型)。
由估計器30計算的參數被傳遞給電機12的轉矩模型32。通過以適當方式(由電機12的電磁物理性質限定)將所述電氣模型數學地變換成描述電機12的轉矩特性的第二模型可以推導出轉矩模型32。由于電氣模型系數自然地應用到轉矩模型32，通過構建電機12的精確電氣模型，電機12的轉矩特性也將已知。例如，轉矩模型可以描述電機的正常運行包絡線內為相電流與轉子位置的任意組合所產生的轉矩。因此，使用由估計器30計算的值，可以為任意電流-角度組合計算電機轉矩的估計值。
轉矩模型32由解算器34詢問，解算器34根據某些期望的電機行為和電機12的已知行為來計算所需的電流或解曲線(就電流和角度而言)。這樣，控制器36針對給定的轉子角度位置提供適當的電流以獲得期望的輸出轉矩40或其他輸出參數，并進而根據期望的電機行為來獲得所述輸出參數。例如，所述期望的電機行為可以包括電機12的運行特性，所述運行特性滿足包括齒槽效應轉矩、轉矩脈動、解對角度誤差的角度敏感度以及解曲線的諧波含量等的一個或多個準則。在圖2示出的特定系統100中，解算器34的輸出被顯式地存儲為可由控制器36訪問的查找表。轉矩需求11和轉子角度被應用到該查找表以確定將經由驅動裝置14施加到相繞組的適當相電流值。在其他實施例中，解算器34的輸出是解析形式，其通過將函數擬合到計算出的數值來導出。
由于估計器30所使用的電氣模型本質上是代數的，在將一組新的參數估計值應用到轉矩模型32之前，允許估計器30在某些時間段運算不一定是順序的數據。然后，解算器34可以在此時重新計算必要的查找表36。一旦全部計算出后，新的查找表便可取代那些當前正在使用的表。許多這些運算可以被安排成后臺任務；即，它們可以在計算資源可用時發生。這是代數的電機模型的優點之一-它與時間變量的聯系不密切。
轉矩可以通過同能量或場能量來估計，但是通過同能量來計算轉矩會產生更簡單的表達式。因此，可以僅使用從電機端子得到的反饋(例如端子電壓、電流和轉子位置)來計算輸出轉矩40的估計值，以便估計阻抗和磁鏈的參數。以下公開通常按照三相混合電機來假定，但是受益于本公開的本領域技術人員可以將所述模型形式推廣到具有任意相數的各類旋轉電機。
在許多應用中，通常會利用被稱為平衡三相饋電的系統。在此類系統中，當使用三相電機時，三相電流之和將等于零。因此，可以使用αβ參考坐標系(FoR)。如果不使用平衡饋電，則需要使用abc-FoR。首先考慮使用αβ-FoR。
所述電氣模型可以具有電流和角度的多項式乘積形式。通常，角度多項式將包含三角函數。電流多項式也可以是正交多項式或任意數量的適當多項式類型中的一種類型。對于更復雜的電機，正交模型形式可能是適合的。使用此處公開的第一模型結構，假定磁鏈模型為包含相電流的多項式項與機械角的三角多項式的乘積式。使用正交函數的模型稍后在本說明書中做進一步討論。本公開中通常使用以下命名規則Φ為相指數(phase index)，范圍為定義的數集{1，2，3，...}或等價的字母{a，b，c，...}a，b，c為相名稱，當數字地引用時，等同于1，2，3，α，β，0為αβ參考坐標系(FoR)標號λΦ為相Φ的磁鏈p，P..q，Q..r，R..n，N為求和指數(summation index)以及最大指數值sin()，cos()為三角函數gΦpqrn，hΦpqrn為模型參數iα，iβ，i0為表示αβ參考坐標系電流的變量Iα，Iβ為同能量積分(coenergy integral)中遇到的αβ參考坐標系電流的最大值ia，ib，ic為表示abc參考坐標系電流的變量Ia，Ib，Ic為同能量積分中遇到的abc-FoR電流的最大值if為與虛構轉子電路(模擬磁體的存在)關聯的電流VΦ為相Φ的電壓RΦα，RΦβ，RΦαβ為與相Φ關聯的電阻值為x對于y的微分θ為轉子角度ω為轉子角速度
t為時間tωc為同能量dx為x無窮小∫f(x)dx 為f(x)對于x的積分為函數f(.)對于x的偏導數D1，.....，D6為沿定義路徑的同能量積分的分量T為電機或真實轉矩O(xn)為與雅可比矩陣第n階和更高項關聯的余(remainder)Jij為雅可比的第ij表值(entry)Fi(x1，..，xM)為變量X1，..，XM的第i個函數δx為x增量δxnew為x增量的新的值，或x的變化xnew，xold為牛頓迭代過程期間計算出的新、舊x值Ttv為估計的轉矩，直接來自端變量(terminal variables)Tcog為不能直接使用端變量來計算的轉矩Sa為解敏感度I=iα(θ(1))iα(θ(2))···iα(θ(N))iβ(θ(1))iβ(θ(2))···iβ(θ(N))]]>為整個離散角度值集合內αβ參考坐標系電流值的向量
I(n+1)、I(n)為第(n+1)和第n個迭代電流向量ΔI(n)為計算出的電流向量在第n個區間的變化ΦTK＝(0...0T(θ(k)，iα(k)，iβ(k))0...0)為第k個轉矩向量ΦSK＝(0...0S(θ(k)，iα(k)，iβ(k))0...0)為第k個敏感度向量A=ΦT1···ΦTN]]>為疊加的轉矩向量B=ΦS1···ΦSN]]>為疊加的電流向量假定每個電機相(Φ)的模型結構均相同，則使用αβ-FoR的磁通模型的一般形式為λφ=Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σr=0Rifr·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))---(1)]]>這種模型考慮了相電流與磁通之間的非線性關系以及任意兩相或更多相之間的相互作用。如上所述，出于本公開的目的，假定模型結構對于相而言是不變的，盡管不是必須如此。如方程(1)中的情況那樣，無需使用多項式電流和角度諧波的連接冪(contiguous powers)。例如，考慮下面的公式λφ=Σp=p1pSiαp·Σq=q1qTiβq·Σr=r1rUifr·Σn=n1nV(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))---(2)]]>其中指數集合
p＝(p1，p2，.....，pS.)r＝(r1，r2，.....，rU.)q＝(q1，p2，.....，qT.)n＝(n1，n2，.....，nV.)不需要包含連接整數。實際上，大多數實際應用都將具有這種形式。
可以獲得方程(2)中所示形式的足夠精確且相對簡單的模型。如果希望，則模型結構可以隨相的不同而不同。這種定義模型結構的不同對所關聯算法的計算復雜性具有顯著的影響。某些模型分量將作為制造公差的結果而存在，并且出于電機設計的理論考慮，不建議使用這些分量。進而，不同設計的電機之間，模型復雜性可以有很大差異。例如，具有減少齒槽效應(通常通過使用偏斜)的明確意圖的永磁電機設計可能只需要非常簡單的模型來精確預估轉矩。通常希望避免超定模型或欠定模型。
使用以下變換式，可以將abc-FoR電流變換為αβ-FoR電流iαiβi0=101-12-12·31-1212·31·iaibic---(3)]]>在平衡饋電的假定下，第三相電流為零。已知相電壓(VΦ)由下式定義vφ=iφ·Rφ+ddtλφ---(4)]]>其中RΦ為相電阻。因此，使用αβ-FoRvφ=Rφ+iα·Rφα+iβ·Rφβ+iα·iβ·Rφαβ+ddtλφ---(5)]]>應當注意，從電路如何工作的角度，方程(5)中的電阻項比需要的要多。這些附加項考慮了測試數據偏移的存在以及直接補償類似偏移；否則所述估計器會將多余的項設為零。
還已知角速度(ω)由下式定義ω=ddtθ---(6)]]>根據方程(1)和(4)ddtλφ=Σp=1P(piαp-1·ddtiα)·Σq=0Qiβq·Σr=0Rifr·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ)...]]>+Σp=0Piαp·Σq=1Q(qiβq-1·ddtiβ)·Σr=0Rifr·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σr=1R(rifr-1ddtif)·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σr=0Rifr·Σn=1Nω·n·(gφpqrn·cos(n·θ)-hφpqrn·sin(n·θ))---(7)]]>虛構的轉子電流(if)名義上是常數，其時間導數為零。因此，根據方程(5)和(7)vφ=Rφ+iα·Rφα+iβ·Rφβ+iα·iβ·Rφαβ...]]>+Σp=1P(piαp-1·ddtiα)·Σq=0Qiβq·Σr=0Rifr·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ)...]]>+Σp=0Piαp·Σq=1Q(qiβq-1·ddtiβ)·Σr=0Rifr·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σr=0Rifr·Σn=1Nω·n·(gφpqrn·cos(n·θ)-hφpqrn·sin(n·θ))---(8)]]>在采用開關磁阻電機的實施例中，不存在虛構的轉子電流狀態，因為沒有與該狀態關聯的轉子磁體，因此if≡0并且ddtif&equiv;0---(9)]]>因此，在開關磁阻電機的情況下，與虛構的轉子相位關聯的指數變量(r)可以從方程(8)中刪除vφ=Rφ+iα·Rφα+iβ·Rφβ+iα·iβ·Rφαβ...]]>+Σp=1P(piαp-1·ddtiα)·Σq=0Qiβq·Σn=0N(gφpqn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ)...]]>+Σp=0Piαp·Σq=1Q(qiβq-1·ddtiβ)·Σn=0N(gφpqn·sin(n·θ)+hφpqn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σn=1Nω·n·(gφpqn·cos(n·θ)-hφpqn·sin(n·θ))---(10·)]]>例如，將類似的簡化過程應用到SR電機的特定情況是從本公開受益的本領域技術人員的一項例行工作。
有若干種技術可用于在給定測試數據的情況下計算所述模型中的系數。如上所述，所述電氣模型是代數的，這允許使用大量參數估計技術中的任意一種技術，例如最小二乘法和格萊姆(grammian)矩陣法。基于最小平方的參數估計器找到這樣的模型系數使觀測到的數據與來自該模型的輸出之間的差的平方最小。在本發明的特定實施例中，使用遞歸最小平方參數估計器。遞歸最小平方參數估計器最適合實際的生產系統。它們以這樣的方式工作它們能夠借助每個新的數據樣本生成改進的估計量。也就是說在工作中，它們并不只限于測試數據的完整集合。
遞歸最小平方參數估計技術的進一步改進涉及使用“遺忘因子”，其以下列方式工作。隨著越來越多的數據被捕獲，舊數據對計算新數據的影響被減小了。以這種方式，只有最新的數據才會在參數估計過程中具有顯著影響。此遺忘因子在任何適當的時間區間上起作用-例如，分鐘、小時或天-具體取決于設計考慮。許多考慮到的變量不隨時間顯著變化。但是，某些變量(例如相電阻)會隨時間并相對于其他因素(例如電機溫度)而改變。這種增加的改進可以將所述控制系統調整為適合任何特定的電機，并且還可以適應該電機中的變化。這通常發生在電機老化時。
可以為參數估計使用各種數據收集方案。例如，某種數據收集技術需要恒定的相電流，這通常只發生在受控的數據收集情況下。其他技術涉及變化的電流，在實際應用中通常如此。
在恒定相電流數據收集方案中，ddtiα=ddtiβ=0]]>在這些條件下，方程(8)簡化為vφ=Rφ+iα·Rφα+iβ·Rφβ+iα·iβ·Rφαβ...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σr=0Rifr·Σn=1Nω·n·(gφpqrn·cos(n·θ)-hφpqrn·sin(n·θ))---(11)]]>為了標記方便并反映if項的不可觀測性，以下恒等式被定義為考慮方程(11)中最后兩個∑項的結果Σr=0Rifr·gφpqrn=Gφpqn]]>對于所有Φ、p和q (12)Σr=0Rifr·hφpqrn=Hφpqn]]>對于所有Φ、p和q (13)為了在相電流變化的情況下保持與方程(10)的一致性，方程(11)中的諧波項(n)不會被收集到由方程(12)和(13)定義的H和G項中。
將方程(12)和(13)代入方程(11)，得到vφ=Rφ+iα·Rφα+iβ·Rφβ+iα·iβ·Rφαβ...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σn=1Nω·n·(Gφpqn·cos(n·θ)-Hφpqn·sin(n·θ))---(14)]]>將整個方程(14)除以ω得到vφω=1ω·Rφ+iαω·Rφα+iβω·Rφβ+iα·iβω·Rφαβ...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σn=1Nn·(Gφpqn·cos(n·θ)-Hφpqn·sin(n·θ))---(15)]]>使用方程(14)，可以在恒定相電流的情況下估計電機參數。
如上所述，實際的電機應用涉及變化的電流。方程(8)描述了當在電流變化的情況下計算相電壓時，磁通模型系數(首先出現在方程(1)中)如何通過三個單獨的路徑傳播。第一個路徑(正如前面遇到的)通過那些明確包含ω的表達式。另外兩個路徑涉及具有電流的時間導數的表達式。如前所述，全部除以ω，并如方程(12)和(13)中指示的那樣進行代入，得到vφω=1ω·Rφ+iαω·Rφα+iβω·Rφβ+iα·iβω·Rφαβ...]]>+[1ω·(ddtiα)]·Σp=1Ppiαp-1·Σq=0Qiβq·Σn=0N(Gφpqn·sin(n·θ)+Hφpqn·cos(n·θ))...]]>+[1ω·(ddtiβα)]·Σp=0Piαp·Σq=1Qqiβq-1·Σn=0N(Gφpqn·sin(n·θ)+Hφpqn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σn=1Nn·(Gφpqn·cos(n·θ)-Hφpqn·sin(n·θ))---(16)]]>注意1ω·(ddti)=1(ddtθ)ddti=(ddθt)·(ddti)=ddθi]]>這樣可將方程(16)重新寫成以下簡單的形式vφω=1ω·Rφ+iαω·Rφα+iβω·Rφβ+iα·iβω·Rφαβ...]]>+(ddθiα)·Σp=1Ppiαp-1·Σq=0Qiβq·Σn=0N(Gφpqn·sin(n·θ)+Hφpqn·cos(n·θ))...]]>+(ddθiβ)·Σp=0Piαp·Σq=1Qqiβq-1·Σn=0N(Gφpqn·sin(n·θ)+Hφpqn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σn=1Nn·(Gφpqn·cos(n·θ)-Hφpqn·sin(n·θ))...]]>重新列出方程(16)的優點在于消除了該方程中脈沖噪聲的兩個可能來源，以及它們可能導致參數估計器出現的多種問題。如果假定驅動電流波形是已知的，則可以直接計算它們對于角度的導數。如果電流波形被定義為解析形式(例如根據BEMF模型)，則對于所述導數存在一個閉表達式，另外可以獲得一個數值估計。具體地說，如果在(k-1)和k區間，角度和期望的電流為θ(k-1)、θ(k)、iα(k-1)和iα(k)，則ddθiα=iα(k)-iα(k-1)θ(k)-θ(k-1)]]>這種方法隱含地假定所述系統表現出良好的電流跟隨特性。
由于通過所述電氣模型可以估計電阻和磁鏈，因此通過一系列標準運算可以導出將電流和角度與生成的轉矩進行關聯的轉矩模型。這些運算通常包括從零電流到當前電流值對磁鏈積分-同能量，以及求該表達式對于軸角度的微分。這些運算的結果為轉矩表達式。
同能量(ωc)由下式定義ωc=&Integral;Σφ=1Nφλφdiφ---(17)]]>其中，N為定子相數。因此，對于三相開關磁阻電機，NΦ＝3(對于a、b和c定子相)，但是對于三相PM電機，NΦ＝4(對于三個定子相和虛構的f轉子相)。由下式通過同能量可以得到轉矩T=&PartialD;&PartialD;θωc---(18)]]>所述abc-FoR與αβ-FoR之間的關系由下式給出iαiβi0=101-12-12·31-1212·31·iaibic]]>abc FoR電流的導數通過以下方程與αβ-FoR相關
dλa(iα,iβ,if,θ)=&PartialD;&PartialD;iαλa·diα+&PartialD;&PartialD;iβλa·diβ+&PartialD;&PartialD;ifλa·dif---(19)]]>dλb(iα,iβ,if,θ)=&PartialD;&PartialD;iαλb·diα+&PartialD;&PartialD;iβλb·diβ+&PartialD;&PartialD;ifλb·dif---(20)]]>dλc(iα,iβ,if,θ)=&PartialD;&PartialD;iαλc·diα+&PartialD;&PartialD;iβλc·diβ+&PartialD;&PartialD;ifλc·dif---(21)]]>dλf(iα,iβ,if,θ)=&PartialD;&PartialD;iαλf·diα+&PartialD;&PartialD;iβλf·diβ+&PartialD;&PartialD;ifλf·dif---(22)]]>并且dia＝diα(23)dib=-12·diα-32·diβ---(24)]]>dic=-12·diα+32·diβ---(25)]]>dif＝dif(26)由于開關磁阻電機沒有永磁體，因此在開關磁阻電機的情況下，方程(26)為dif≡0因此，同能量的表達式以αβ-FoR的形式寫成ωc=&Integral;λadiα-12·&Integral;λbdiα-32·&Integral;λbdiβ-12·&Integral;λcdiα+32·&Integral;λcdiβ+&Integral;λfdif---(27)]]>為方便起見，此表達式的各個積分分量分別被設為等于D1、D2、D3、D4、D5和D6ωc=D1-12·D2-32·D3-12D4+32·D5+D6---(28)]]>而且，在開關磁阻電機的特定情況下D6≡0因此對于開關磁阻電機，方程(27)和(28)簡化為
ωc=&Integral;λadiα-12·&Integral;λbdiα-32·&Integral;λbdiβ-12·&Integral;λcdiα+32·&Integral;λcdiβ---(29)]]>ωc=D1-12·D2-32·D3-12D4+32·D5---(30)]]>接著，選擇積分路徑。到此，定義了包含三個有向線段(DLS)的積分路徑，將在該路徑上計算積分給定同能量的值。為了本公開的目的，積分的虛變量為ξ，而相電流變量(ia，ib，ic，iα，iβ)為小寫。它們關聯的終值(對于路徑積分)為(Ia，Ib，Ic，Iα，Iβ)。
有向線段一iα＝0diα＝0iβ＝0diβ＝0if為積分變量，范圍從0到If有向線段二iα＝0diα＝0iβ為積分變量，范圍從0到Iβif＝Ifdif＝0有向線段三iα為積分變量，范圍從0到Iαiβ＝Iβdiβ＝0if＝Ifdif＝0圖3示出了定義為有向線段51、52、53的序列的積分路徑。
然后在選定的路徑上計算每個積分D1-D6的值。計算D1的值D1＝∫λadiα除第三條DLS外，其在所有DLS上恒等于零，因此D1=&Integral;0IαΣp=0Pξp·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gapqrn·sin(n·θ)+hapqrn·cos(n·θ))dξ]]>得到
D1=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gapqrn·sin(n·θ)+hapqrn·cos(n·θ))---(31)]]>計算D2的值D2＝∫λbdiα除第三條有向線段外，其在所有有向線段上也恒等于零。
D2=&Integral;0IαΣp=0Pξp·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gbpqrn·sin(n·θ)+hbpqrn·cos(n·θ))dξ]]>得到D2=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gbpqrn·sin(n·θ)+hbpqrn·cos(n·θ))--(32)]]>計算D3的值D3＝∫λbdiβ除第二條有向線段外，其在所有有向線段上恒等于零，其中所有項(除p＝0的那些項以外)都為零。
D3=&Integral;0IβΣq=0Qξq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gb0qrn·sin(n·θ)+hb0qrn·cos(n·θ))dξ]]>得到D3=Σq=0QIβq+1q+1·Σr=0RIfr·Σn=0N(gb0qrn·sin(n·θ)+hb0qrn·cos(n·θ))---(33)]]>計算D4的值D4＝∫λcdiα除第三條有向線段外，其在所有有向線段上恒等于零，其中所有項(除p＝q＝0的那些項以外)都為零。
D4=&Integral;0Iα[Σp=0Pξp·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gcpqrn·sin(n·θ)+hcpqrn·cos(n·θ))]dξ]]>得到D4=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gcpqrn·sin(n·θ)+hcpqrn·cos(n·θ))---(34)]]>計算D5的值D5＝∫λcdiβ除第二條有向線段外，其在所有有向線段上恒等于零。
D5=&Integral;0IβΣq=0Qξq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gc0qrn·sin(n·θ)+hc0pqrn·cos(n·θ))dξ]]>得到D5=Σq=0QIβq+1q+1·Σr=0RIfr·Σn=0N(gc0qrn·sin(n·θ)+hc0pqrn·cos(n·θ))---(35)]]>計算D6的值D6＝∫λfdif除第一條有向線段外，其在所有有向線段上恒等于零。
D6=&Integral;0If[Σr=0Rifr·Σn=0N(gf00rn·sin(n·θ)+hf00rn·cos(n·θ))]dξ]]>得到D6=Σr=0RIfrr+1Σn=0N(gf00rn·sin(n·θ)+hf00rn·cos(n·θ))]]>將DI、i＝1，..，6代入方程(29)
ωc=[Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gapqrn·sin(n·θ)+hapqrn·cos(n·θ))]···]]>+-12·[Σp&OverBar;=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gbpqrn·sin(n·θ)+hbpqrn·cos(n·θ))]···]]>+-32[Σq=0QIβq+1q+1·Σr=0RIfr·Σn=0N(gb0qrn·sin(n·θ)+hb0qrn·cos(n·θ))]···]]>+-12·[Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=0N(gcpqrn·sin(n·θ)+hcpqrn·cos(n·θ))]···]]>+32·[Σq=0QIβq+1q+1·Σr=0RIfr·Σn=0N(gc0qrn·sin(n·θ)+hc0pqrn·cos(n·θ))]···]]>+Σr=0RIfrr+1·Σn=0N(gf00rn·sin(n·θ)+hf00rn·cos(n·θ))]---(37)]]>將方程(37)代入方程(18)T=[Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=1Nn·(gapqrn·cos(n·θ)-hapqrn·sin(n·θ))]···]]>+-12·[Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=1Nn·(gbpqrn·cos(n·θ)-hbpqrn·sin(n·θ))]···]]>+-32·[Σq=0QIβq+1q+1·Σr=0RIfr·Σn=1Nn·(gb0qrn·cos(n·θ)-hb0qrn·sin(n·θ))]···]]>+-12·[Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σr=0RIfr·Σn=1Nn·(gcpqrn·cos(n·θ)-hcpqrn·sin(n·θ))]···]]>+32·[Σq=0QIβq+1q+1·Σr=0RIfr·Σn=1Nn·(gc0qrn·cos(n·θ)-hc0pqrn·sin(n·θ))]···]]>+Σr=0RIfrr+1·Σn=1Nn·(gf00rn·cos(n·θ)-hf00rn·sin(n·θ))---(38)]]>使用先前引入方程(12)和方程(13)的恒等式，將方程(38)重新寫成
T=[Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn·cos(n·θ)-Hapqn·sin(n·θ))]···]]>+-12·[Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gbpqn·cos(n·θ)-Hbpqn·sin(n·θ))]···]]>+-32·[Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1Nn·(Gb0qn·cos(n·θ)-Hb0qn·sin(n·θ))]···]]>+-12·[Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gcpqn·cos(n·θ)-Hcpqn·sin(n·θ))]···]]>+32·[Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1Nn·(Gc0qn·cos(n·θ)-Hc0qn·sin(n·θ))]···]]>+Σr=0RIfrr+1··Σn=1Nn·(gf00rn·cos(n·θ)-hf00rn·sin(n·θ))]]>電氣模型參數自然地從磁鏈的表達式轉入轉矩的表達式中。但是對于采用永磁體的電機，當所述電氣模型被變換成轉矩模型時，將出現其他參數。從物理上說，這些參數涉及電機上的磁體如何與它們自身相互作用-齒槽效應參數。當電機旋轉時，電機端子電流和電壓的變化如何指示或測量此行為在數學上并不明顯。換言之，當轉子旋轉時，僅通過來自電機端子的反饋無法觀測齒槽效應參數。
可以使用根據本發明的各種方法來處理這些不可觀測的參數。例如，在一個實施例中，具有不可觀測參數的轉矩模型項被聚集在一起T=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1N32·n·[(-Gb0qn+Gc0qn)·cos(n·θ)+(Hb0qn-Hc0qn)·sin(n·θ)]···]]>+Σr=0RIfrr+1·Σn=1Nn·(gf00rn·cos(n·θ)-hf00rn·sin(n·θ))---(39)]]>對于開關磁阻電機的特定情況，這些參數不存在(電機構造中沒有磁體)，并且方程(39)簡化為T=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(gapqn-gbpqn2-gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-hapqn+hbpqn2+hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1Nn·32·[(-gb0qn+gc0qn)·cos(n·θ)+(hb0qn-hc0qn)·sin(n·θ)]---(40)·]]>方程(39)中的三重與第一雙重求和項包含可以通過電機端子觀測的系數，而第二雙重求和將那些不可觀測的項分類到一起。
可直接或間接地測量齒槽效應轉矩以提供用于導出表達式(可替代所述未知分類項)的數據。例如，通過在試驗臺上旋轉電機(沒有電流被施加到電機繞組)并測量齒槽效應，可以直接將一個傅立葉級數擬合到測試數據并使用此已知的表達式來替代所述未知分類項。考慮方程(39)在沒有電流流入定子相時的特定情況Iα＝Iβ＝0方程(39)中不可觀測的分類項為Σr=0RIfrr+1·Σn=1N(gf00rn·cos(n·θ)-hf00rn·sin(n·θ))]]>由于If在名義上是常數，因此可以通過以下三角多項式為齒槽效應的影響建模Σn=1N(pn·sin(n·θ)+qn·cos(n·θ))---(41)]]>參數pn和qn由齒槽效應轉矩測量值(從不通電的電機獲得)來提供。然后假定方程(41)可以取代方程(39)中轉矩表達式的不可觀測的分量，即Σr=0RIfrr+1·Σn=1Nn·(gf00rn·cos(n·θ)-hf00rn·sin(n·θ))=Σn=1N(pk·sin(n·θ)+qk·cos(n·θ))]]>得到
T=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1Nn·[(-32·Gb0qn+32·Gc0qn)·cos(n·θ)+(32Hb0qn-32Hc0qn)·sin(n·θ)]···]]>+Σn=1N(pk·sin(n·θ)+qk·cos(n·θ))---(42)]]>根據本發明的其他技術使用齒槽效應轉矩的間接測量值。這通常包含三個步驟。首先，在試運行期間，電機以一種或多種空載(自由軸)速度旋轉。由于沒有負載被施加到電機軸上，因此電機電流為最小。根據電壓、電流以及軸傳感器信息來擬合電機的簡單線性電壓模型(例如，僅包括相電流和BEMF分量-α和β電流表現為無關并只到一次冪)。該線性模型可相當準確地預測電機在輕載下的運行。接著，如先前所述從線性電壓電機中導出電機的轉矩模型。該轉矩模型可相當準確地預測電機在輕載下的輸出轉矩。
在一個替代方法中，在試運行期間，電機以不通電的速度旋轉并測量端子電壓。使用該數據，可以擬合完整電機模型的一部分(BEMF分量)。使用與用于完整模型的方法相同的方法，可以從該部分電氣模型創建轉矩模型。結果模型不會完整地描述電機如何在整個電流范圍上產生轉矩，但是對于小的電流值來說，它卻相當地精確。
然后，控制電機以便保持位置。也就是說，所述控制器激勵繞組，直至電機保持所需的位置，克服齒槽效應轉矩(假定沒有施加其他負載-電機以自由軸運行)。知道了這些低電流范圍的相對精確的轉矩模型后，現在可以計算在任何特定角度的齒槽效應轉矩的值。以這種方式，通過在一個完整的旋轉中重復上述過程，可以收集關于齒槽效應模型的數據。例如，按照前面所述，可以擬合傅立葉級數，創建查找表等，并用其替代轉矩模型中包含不可觀測參數的那些項。
出于數值的原因，希望規范化αβ-FoR電流，以便它們位于閉區間[-1，1]內。通過考慮方程(1)可以最佳地理解該過程λφ=Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σr=0Rifr·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))---(1)]]>假定直接測量磁通并使用某一比例因子I來規范化測量的電流，則方程(1)變為λφ=Σp=0P(iαI)p·Σq=0Q(iβI)q·Σr=0R(ifI)r·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))---(43)]]>相應的電壓方程通過下式給出vφ=Rφ+iαI·Rφα+iβI·Rφβ+iαI·iβI·Rφαβ...+Σp=1P[p(iαI)p-1·ddt(iαI)]·Σq=0Q(iβI)q·Σr=0R(ifI)r·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))...+Σp=0P(iαI)p·Σq=1Q[q(iβI)q-1·ddt(iβI)]·Σr=0R(ifI)r·Σn=0N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))...+Σp=0P(iαI)p·Σq=0Q(iβI)q·Σr=0R(ifI)r·Σn=1Nω·n·(gφpqrn·cos(n·θ)+hφpqrn·sin(n·θ))---(44)]]>例如以下的項ddt(iαI)]]>對應于規范化后的電流的導數。前面引用的另外兩個所關心的方程是將磁通與同能量以及將同能量與轉矩相關的方程ωc=&Integral;Σφ=1Nφλφdiφ---(17)]]>T=&PartialD;&PartialD;θωc---(18)]]>方程(17)中的積分是對于真實電流測量值。由此，如果使用規范化后的電流來計算轉矩方程的值，則通過乘以所述比例因子I可以得到真實轉矩值。
解算器34使用所述轉矩模型為具有零角度敏感度的平滑轉矩計算適當的電流。在軸的單個旋轉上，計算出的轉矩水平可能會舍去某些干擾。進而，如上所述，位置測量中的誤差會降低性能，并且性能趨向于隨著角度測量中的誤差而迅速降低。為獲得對角度測量具有零敏感度或至少降低的敏感度的平滑轉矩，將導出一個解(其考慮了轉矩相對于角度的變化)，然后使方差最小。首先，求解一組非線性方程。對于包含變量xi(i＝1，..，N)的N個函數關系Fi(x1，x2，....，xN)＝0i＝1，....，N(45)采用向量符號表示并使用泰勒級數展開函數FiFi(x+δx)=Fi(x)+Σj=1N&PartialD;&PartialD;xjFi·δxj+O(δx2)---(46)]]>雅可比行列式被寫成Jij=&PartialD;&PartialD;xjFi---(47)]]>則F(x+δx)＝F(x)+J·δx+O(δx2) (48)由此得到一組線性方程J·δxnew＝-F (49)求解以上線性方程，得到xnew＝xold+δxnew(50)在此特定情況下，所述非線性方程用于轉矩并且對于角度狀況具有零敏感度。
在所討論的問題中，雖然所述雅可比矩陣通常將很小(二乘二或三乘三)，計算逆矩陣時的計算成本不大。但是，計算雅可比行列式的單個元素需要很大的開銷。降低計算成本的一種方法是對于某些數量的迭代使雅可比常數p＞1。這種技術(循環更新所述雅可比矩陣)以解的收斂速度的降低來補償計算成本的減少。還有多維正割型方法，通過使用多維有限差分來避免顯式計算雅可比行列式。
使用上述方法，對解的初始猜測必須相當地接近，因為不能保證整體收斂。搜索PM電機的解時，通常不會有問題，但對于開關磁阻電機，則可能有問題。一種可能的解決方法是檢查可能具有重新啟動方案的擬牛頓方法(具有整體收斂特性)的使用。
轉矩可以使用方程(39)通過同能量來計算，重復如下T=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1N32·n·[(-Gb0qn+Gc0qn)·cos(n·θ)+(Hb0qn-Hc0qn)·sin(n·θ)]...]]>+Σr=0RIfrr+1·Σn=1Nn·(gf00rn·cos(n·θ)-hf00rn·sin(n·θ))---(39)]]>忽略不可觀測的參數并重新整理方程(39)，得到0=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1N32·n·[(-Gb0qn+Gc0qn)·cos(n·θ)+(Hb0qn-Hc0qn)·sin(n·θ)]-T---(51)]]>現在可以導出對于iα和iβ的必要的偏導數或雅可比行列式的表值。
&PartialD;&PartialD;iαT(iα,iβ,θ)=Σp=0PIαp·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)---(52)]]>&PartialD;&PartialD;iβT(iα,iβ,θ)=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=1QqIβq-1·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq·Σn=1N32·n·(-Gb0qn+Gc0qn)·cos(n·θ)...+(Hb0qn-Hc0qn)·sin(n·θ)---(53)]]>因此J11=Σp=0PIαp·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)---(54)]]>J12=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=1QqIβq-1·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq·Σn=1N32·n·[(-Gb0qn+Gc0qn)·cos(n·θ)+(Hb0qn-Hc0qn)·sin(n·θ)]---(55)]]>關于零角敏感度，相對于角度的敏感度由下式給出&PartialD;&PartialD;θT---(56)]]>由方程(39)得到&PartialD;&PartialD;θT=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn2·-(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·sin(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·cos(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1Nn2·32·-(-Gb0qn+Gc0qn)·sin(n·θ)...+(Hb0qn-Hc0qn)·cos(n·θ)---(57)]]>因此
J21=&PartialD;&PartialD;iα&PartialD;&PartialD;θT---(58)]]>以及J22=&PartialD;&PartialD;iβ&PartialD;&PartialD;θT---(59)]]>通過改變偏導數的順序，方程(58)和(59)變為J21=&PartialD;&PartialD;θJ11---(60)]]>J22=&PartialD;&PartialD;θJ12---(61)]]>如上所述，無法僅使用來自電機端子的數據來估計齒槽效應轉矩。上述齒槽效應模型可以被直接代入解算器34。記得可觀測和不可觀測轉矩模型項在方程(39)中被分類到一起。如果總的電機轉矩分成通過端變量(Ttv)估計的轉矩和齒槽效應轉矩(Tcog)，則T＝Ttv+Tcog(62)并且&PartialD;&PartialD;θT=&PartialD;&PartialD;θTtv+&PartialD;&PartialD;θTcog---(63)]]>根據傅立葉級數將Tcog看作只是角度的函數(代表與角度相關但與電流無關的齒槽效應)&PartialD;&PartialD;iαTcog=&PartialD;&PartialD;iβTcog=0---(64)]]>&PartialD;&PartialD;iα(&PartialD;&PartialD;θTcog)=&PartialD;&PartialD;iβ(&PartialD;&PartialD;θTcog)=0---(65)]]>從方程(64)和(65)可以看出，對雅可比矩陣的計算沒有影響，參見方程(39)和方程(51)到(61)。僅對計算真實轉矩(T)及其對于角度的偏導數(或敏感度)有影響。回想方程(39)
T=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1Nn·32·[(-Gb0qn+Gc0qn)·cos(n·θ)+(Hb0qn-Hc0qn)·sin(n·θ)]...]]>+Σr=0RIfrr+1·Σn=1Nn·(gf00rn·cos(n·θ)-hf00rn·sin(n·θ))]]>如上所述，如果通過一個傅立葉級數將Tcog看作機械角的函數Tcog(θ)=Σn=1Nc(an·sin(n·θ)+bn·cos(n·θ))---(66)]]>則方程(39)得到T=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn·(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·cos(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·sin(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1N32·n·[(-Gb0qn+Gc0qn)·cos(n·θ)+(Hb0qn-Hc0qn)·sin(n·θ)]...]]>+Σn=1Nc(an·sin(n·θ)+bn·cos(n·θ))---(67)]]>然后，真實敏感度是方程(67)中出現的轉矩表達式的對于角度的偏導數，參見方程(57)Sa=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn2·-(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·sin(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·cos(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1N3·n22·[-(-Gb0qn+Gc0qn)·sin(n·θ)+(Hb0qn-Hc0qn)·cos(n·θ)]...]]>+Σn=1Ncn·(an·cos(n·θ)-bn·sin(n·θ))---(68)]]>到目前為止，假定平滑轉矩解是以逐點的方式獲得的。一種替代方法是在區間(0，2π)內跨角度區間同時計算解。為方便起見，引入以下命名規則。假定對于特定的轉矩和敏感度需求，將在以下各種角度計算解θ(k)對于所有k＝1，....，N
電流列向量由下式給出I=iα(θ(1))iα(θ(2))·····iα(θ(N))iβ(θ(1))iβ(θ(2))·····iβ(θ(N))---(69)]]>如果新的I(n+1)＝I(n)+Δ(n)(70)則第k個轉矩向量為由下式定義的行向量φTk＝(0....0T(θ(k)，iα(k)，iβ(k))0....0)同樣，第k個敏感度向量由下式定義φSk＝(0....0S(θ(k)，iα(k)，iβ(k))0....0)這些向量可以疊加形成對角矩陣A=φT1····φTN]]>B=φS1····φSN]]>最后，采用對于電流的適當偏導數，結果矩陣歸并形成一個2N×2N矩陣Φ=&PartialD;&PartialD;iα&Agr;&PartialD;&PartialD;iβ&Agr;&PartialD;&PartialD;iα&Bgr;&PartialD;&PartialD;iβ&Bgr;---(71)]]>在特定角度θ(k)處希望的轉矩和敏感度為T(θ(k))S(θ(k))在角度范圍內這些值的2N×1需求向量D由下式給出
Td(θ(1))Td(θ(2))·····Td(θ(N))Sd(θ(1))·····Sd(θ(1))---(72)]]>并且從任意電流組合(iα，iβ)產生的轉矩和敏感度的實際值(其組成迭代解)由下面的列向量給出A=T(θ(1),iα(1),iβ(1))T(θ(2),iα(2),iβ(2))·····T(θ(N),iα(N),iβ(N))S(θ(1),iα(1),iβ(1))·····S(θ(N),iα(N),iβ(N))---(73)]]>使用此符號表示法并根據初始存在的推導Δ(n)＝Φ-1·(D-A) (74)和I(n+1)＝I(n)+Δ(n)當處理PM電機時，從合理的猜測開始，三到十五次迭代通常已足夠。在先前的開關磁阻電機的情況下，收斂問題變得非常重要。通常在一個正弦波(使用某些適合于正在討論的電機的諧波來生成)上選擇PM電機的典型種子值。因此，在非疊加版本的解算器中iαiβ=0.2-0.2]]>在疊加的版本中，此表達式由適當大小的正弦饋源(sine feeds)和諧函數來替代，例如，在12-10PM電機中為五。
逼近以上列出的一種替代方法是將該問題看作每個角度下對于αβ電流的約束非線性最優化任務
&PartialD;&PartialD;θT(iα,iβ,θ(k))=0]]>T(iα，iβ，θ(k))＝TdemandMIN(iα2+iβ2)]]>此類問題是“Sensitivity of Automatic Control Systems”(自動控制系統的敏感度)(Rosenwasser和Yusupov，CRC Press，1999)中所描述情況的一種特定情況。
在某些齒槽效應頻率很高的情況下，已證明可能很難跟隨結果電流形狀。當然，日益復雜而昂貴的驅動裝置可以提供更好的電流形狀跟隨能力。在實際中，要求在成本和電流跟隨能力之間進行合理的平衡。一種解決方法是將更高諧波項從本公開中出現的全部敏感度表達式中刪除。具體地說，考慮方程(71)中出現的表達式。如果忽略高于Nt的更高諧波項，則Sa=Σp=0PIαp+1p+1·Σq=0QIβq·Σn=1Nn2·-(Gapqn-Gbpqn2-Gcpqn2)·sin(n·θ)...+(-Hapqn+Hbpqn2+Hcpqn2)·cos(n·θ)···]]>+Σq=0QIβq+1q+1·Σn=1N3·n22·[-(-Gb0qn+Gc0qn)·sin(n·θ)+(Hb0qn-Hc0qn)·cos(n·θ)]...]]>+Σn=1Ntn·(an·cos(n·θ)-bn·sin(n·θ))---(75)]]>通常，刪去的諧波將在35至40的范圍內。這會產生更平滑的電流形狀，在角精度中存在誤差時，將比否則的情況更快一些地引入更高頻率的轉矩脈動。
如果不使用平衡饋電，則需要使用abc-FoR。如以上使用αβ-FoR的討論，以下公開通常按照三相混合電機來假定，但是受益于本公開的本領域技術人員可以將所述模型形式推廣到具有任意相數的各類旋轉電機。為了符號表示的方便，abc-定子相由下標“1”、“2”和“3”表示，而單個轉子相由下標“4”表示。
abc-FoR中磁鏈模型的一般形式由下式給出
λφ(i1,i2,i3,i4,θ)=Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))---(76)]]>方程(4)提供已知方程vφ=iφ·Rφ+ddtλφ---(4)]]>根據方程(76)ddtλφ=Σp=1Pp·i1p-1·(ddti1)·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=1Qqi2q-1·(ddti2)·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=1Ssi4s-1·(ddti4)·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1Nω·n·(gφpqrsn·cos(n·θ)-hφpqrsn·sin(n·θ))---(77)]]>將方程(77)代入方程(4)vφ=iφ·Rφ+Σp=1Pp·i1p-1·(ddti1)·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=1Qqi2q-1·(ddti2)·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=1Rr·i3r-1·(ddti3)·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=1Ssi4s-1·(ddti4)·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1Nω·n·(gφpqrsn·cos(n·θ)-hφpqrsn·sin(n·θ))---(78)]]>如上文所述，在開關磁阻電機的特定情況下
if&equiv;0andddtif&equiv;0---(9)]]>因此在開關磁阻電機的情況下，方程(78)得出vφ=iφ·Rφ+Σp=1Pp·i1p-1·(ddti1)·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σn=1N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=1Qqi2q-1·(ddti2)·Σr=0Ri3r·Σn=1N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=1Rr·i3r-1·(ddti3)·Σn=1N(gφpqrn·sin(n·θ)+hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σn=1Nω·n·(gφpqrn·cos(n·θ)-hφpqrn·sin(n·θ))---(79)]]>回想根據方程(17)和(18)，使用以下表達式得到同能量和轉矩ωc=&Integral;Σφ=14λφdiφ---(17)]]>T=&PartialD;&PartialD;θωc---(18)]]>可以選定任何合理的積分路徑；在特定實施例中，使用四條有向線段積分變量 i4di4≠0 i1，i2，i3，di1，di2，di3＝0積分變量 i1di1≠0 i4＝I4i2，i3，di2，di3，di4＝0積分變量 i2di2≠0 i4＝I4i1＝I1i3，di1，di3，di4＝0積分變量 i3di3≠0 i4＝I4i1＝I1i2＝I2di1，di2，di4＝0路徑的選擇是使轉矩的最終表達式中出現的不可觀測參數的數量最少。然后在選定的路徑上求積分值。將方程(76)代入方程(17)ωc=&Integral;[Σφ=14Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))]diφ---(80)]]>為了符號表示方便，將上述積分重新寫為ωc=Σφ=14Fφ---(81)]]>
其中，對于Φ＝1，..，4Fφ=&Integral;Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))diφ---(82)]]>在開關磁阻電機(沒有永磁體)的特定情況下，不存在關聯的定子相Fφ=&Integral;Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))diφ---φ=1,2,3.]]>積分一(F1)F1=&Integral;Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(g1pqrsn·sin(n·θ)+h1pqrsn·cos(n·θ))di1]]>除第二條DLS外，其在所有DLS上恒等于零，其中i4＝I4i1，i2，i3＝0 di2，di3，di4＝0因此F1=&Integral;0I1Σp=0Pξp·Σs=0SI4s·Σn=1N(g1p00sn·sin(n·θ)+h1p00sn·cos(n·θ))dξ]]>得到F1=Σp=0PI1p+1p+1·Σs=0SI4s·Σn=1N(g1p00sn·sin(n·θ)+h1p00sn·cos(n·θ))---(83)]]>積分二(F2)F2=&Integral;Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(g2pqrsn·sin(n·θ)+h2pqrsn·cos(n·θ))di2]]>除第三條DLS外，其沿所有DLS恒等于零，其中i4＝I4ii＝I1i1，i3＝0 di1，di3，di4＝0
因此F2=&Integral;0I2Σp=0PI1p·Σq=0Qξq·Σs=0SI4s·Σn=1N(g2pq0sn·sin(n·θ)+h2pq0sn·cos(n·θ))dξ]]>得到F2=Σp=0PI1p·Σq=0QI2q+1q+1·Σs=0SI4s·Σn=1N(g2pq0sn·sin(n·θ)+h2pq0sn·cos(n·θ))---(84)]]>積分三(F3)F3=&Integral;Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(g3pqrsn·sin(n·θ)+h3pqrsn·cos(n·θ))di3]]>除第四條DLS外，其沿所有DLS恒等于零，其中i4＝I4ii＝I1i2＝I2di1，di2，di4＝0因此F3=&Integral;0I3Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0Rξr·Σs=0SI4s·Σn=1N(g3pqrsn·sin(n·θ)+h3pqrsn·cos(n·θ))dξ]]>得到F3=Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σs=0Si4s·Σn=1N(g3pqrsn·sin(n·θ)+h3pqrsn·cos(n·θ))---(85)]]>積分四(F4)F4=&Integral;Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(g4pqrsn·sin(n·θ)+h4pqrsn·cos(n·θ))di4]]>除第一條DLS外，其沿所有DLS恒等于零，其中i1，i2，i3，di1，di2，di3＝0F4=&Integral;0IfΣs=0Sξs·Σn=1N(g4000sn·sin(n·θ)+h4000sn·cos(n·θ))dξ]]>
得到F4=Σs=0SIfs+1s+1·Σn=1N(g4000sn·sin(n·θ)+h4000sn·cos(n·θ))---(86)]]>將方程(83)至(86)代入方程(81)，得到表達式ωc=Σp=0PI1p+1p+1·Σs=0SI4s·Σn=1N(g1p00sn·sin(n·θ)+h1p00sn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q+1q+1·Σs=0SI4s·Σn=1N(g2pq0sn·sin(n·θ)+h2pq0sn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σs=0SI4s·Σn=1N(g3pqrsn·sin(n·θ)+h3pqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σs=0SIfs+1s+1·Σn=1N(g4000sn·sin(n·θ)+h4000sn·cos(n·θ))---(87)]]>回想方程(18)可以看出，在abc-FoR中，轉矩由下式給出T=Σp=0PI1p+1p+1·Σs=0SI4s·Σn=1Nn·(g1p00sn·cos(n·θ)-h1p00sn·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q+1q+1·Σs=0SI4s·Σn=1Nn·(g2pq0sn·cos(n·θ)-h2pq0sn·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σs=0SI4s·Σn=1Nn·(g3pqrsn·cos(n·θ)-h3pqrsn·sin(n·θ))...]]>+·Σs=0SIfs+1s+1·Σn=1Nn·(g4000sn·cos(n·θ)-h4000sn·sin(n·θ))---(88)]]>在開關磁阻電機的情況下
T=Σp=0PI1p+1p+1·Σn=1Nn·(g1p00n·cos(n·θ)-h1p00n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q+1q+1·Σn=1Nn·(g2pq0n·cos(n·θ)+h2pq0n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn·(g3pqrn·cos(n·θ)-h3pqrn·sin(n·θ))---(89)]]>以上論述了適合于參數估計的數據收集方案，包括示例性恒定相電流和變相電流的方案。下面考慮變電流的方案(在實際應用中是典型的)。回想方程(78)vφ=iφ·Rφ+Σp=1Pp·i1p-1·(ddti1)·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=1Qqi2q-1·(ddti2)·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=1Rr·i3r-1·(ddti3)·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1Nω·n·(gφpqrsn·cos(n·θ)-hφpqrsn·sin(n·θ))---(78)]]>除以角速度=iφω·Rφ+[1ω·(ddti1)]·Σp=1Pp·i1p-1·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+[1ω·(ddti2)]·Σp=0Pi1p·Σq=1Qqi2q-1·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+[1ω·(ddti3)]·Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=1Rr·i3r-1·Σs=0Si4s·Σn=1N(gφpqrsn·sin(n·θ)+hφpqrsn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σs=0Si4s·Σn=1Nn·(gφpqrsn·cos(n·θ)-hφpqrsn·sin(n·θ))---(90)]]>分配給想象的轉子相的狀態變量無法通過電機端子來觀測。因此，必須將名義上的恒定轉子電流歸到那些可觀測的模型參數中，如以上按照為αβ-FoR公式化的模型公開的那樣。定義下列恒等式
Σs=0SI4s·gφpqrsn=Gφpqrn,for all p,q and r---(91)]]>Σs=0SI4s·hφpqrsn=Hφpqrn,for all p,q and r---(92)]]>使用由方程(91)和(92)提供的恒等式，方程(90)變為vφω=iφω·Rφ+[1ω·(ddti1)]·Σp=1Pp·i1p-1·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σn=1N(Gφpqrn·sin(n·θ)+Hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+[1ω·(ddti2)]·Σp=0Pi1p·Σq=1Qqi2q-1·Σr=0Ri3r·Σn=1N(Gφpqrn·sin(n·θ)+Hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+[1ω·(ddti3)]·Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=1Rr·i3r-1·Σn=1N(Gφpqrn·sin(n·θ)+Hφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pi1p·Σq=0Qi2q·Σr=0Ri3r·Σn=1Nn·(Gφpqrn·cos(n·θ)-Hφpqrn·sin(n·θ))---(93)]]>使用方程(91)和(92)中出現的恒等式，方程(89)也被重新寫成T=Σp=0PI1p+1p+1·Σn=1Nn·(G1p00n·cos(n·θ)-H1p00n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q+1q+1·Σn=1Nn·(G2pq0n·cos(n·θ)-H2pq0n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn·(G3pqrsn·cos(n·θ)-H3pqrn·sin(n·θ))...]]>+Σs=0SIfs+1s+1·Σn=1Nn·(g4000sn·cos(n·θ)-h4000sn·sin(n·θ))---(94)]]>并且在開關磁阻電機的特定情況下T=Σp=0PI1p+1p+1·Σn=1Nn·(g1p00n·cos(n·θ)-h1p00n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q+1q+1·Σn=1Nn·(g2pq0n·cos(n·θ)-h2pq0n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn·(g3pqrsn·cos(n·θ)-h3pqrn·sin(n·θ))---(95)]]>作為選定的用于對積分求值的路徑的結果，并非所有來自電壓擬合(voltage fit)的模型參數都在最終的轉矩表達式中出現。
由解算器34實現的、計算所需電流以獲得希望的電機行為(例如具有最小角度敏感度的平滑轉矩)的方法在abc-FoR中與在以上根據αβ-FoR公開的方法類似。主要區別在于所述雅可比行列式為三乘三矩陣，且第三行元素通過對abc-FoR電流可能采用的值進行某種收斂來給出。出于當前公開的目的，假定任何選定的解都將以某種方式最小化各個相電流的平方和。
假設使用方程(88)中陳述的具有abc-FoR的轉矩模型通過同能量來計算轉矩T=Σp=0PI1p+1p+1·Σn=1Nn·(G1p00n·cos(n·θ)-H1p00n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q+1q+1·Σn=1Nn·(G2pq0n·cos(n·θ)-H2pq0n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn·(G3pqrsn·cos(n·θ)-H3pqrn·sin(n·θ))...]]>+Σs=0SIfs+1s+1·Σn=1Nn·(g4000sn·cos(n·θ)-h4000sn·sin(n·θ))---(88)]]>現在可以推導出對于i1、i2和i3的必要的偏導數或雅可比行列式的表值。
&PartialD;&PartialD;i1T=Σp=0PI1p·Σn=1Nn·(G1p00n·cos(n·θ)-H1p00n·sin(n·θ))...]]>+Σp=1Pp·I1p-1·Σq=0QI2q+1q+1·Σn=1Nn·(G2pq0n·cos(n·θ)-H2pq0n·sin(n·θ))...]]>+Σp=1Pp·I1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn·(G3pqrsn·cos(n·θ)-H3pqrn·sin(n·θ))---(96)]]>&PartialD;&PartialD;i2T=Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σn=1Nn·(G2pq0n·cos(n·θ)-H2pq0n·sin(n·θ))...]]>+Σp=0PI1p·Σq=0Qq·I2q-1·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn·(G3pqrsn·cos(n·θ)-H3pqrn·sin(n·θ))---(97)]]>
&PartialD;&PartialD;i3T=Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r·Σn=1Nn·(G3pqrsn·cos(n·θ)-H3pqrn·sin(n-θ))---(98)]]>因此J11=Σp=0PI1p·Σn=1Nn·(G1p00n·cos(n·θ)-H1p00n·sin(n·θ))···]]>+Σp=1Pp·I1p-1·Σq=0QI2q+1q+1·Σn=1Nn·(G2pq0n·cos(n·θ)-H2pq0n·sin(n·θ))···]]>+Σp=1Pp·I1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+0·Σn=1Nn·(G3pqrsn·cos(n·θ)-H3pqrn·sin(n·θ))---(99)]]>J12=Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σn=1Nn·(G2pq0n·cos(n·θ)-H2pq0n·sin(n·θ))···]]>+Σp=0PI1p·Σq=0Qq·I2q-1·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn·(G3pqrsn·cos(n·θ)-H3pqrn·sin(n·θ))---(100)]]>J13=Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r·Σn=1Nn·(G3pqrsn·cos(n·θ)-H3pqrn·sin(n·θ))---(101)]]>如先前在方程(56)中所述，相對于角度的敏感度由下式給出&PartialD;&PartialD;θT---(56)]]>根據方程(88)&PartialD;&PartialD;θT=Σp=0PI1p+1p+1·Σn=1Nn2·(-G1p00n·sin(n·θ)-H1p00n·cos(n·θ))···]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q+1q+1·Σn=1Nn2·(-G2pq0n·sin(n·θ)-H2pq0n·cos(n·θ))···]]>+Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn2·(-G3pqrsn·sin(n·θ)-H3pqrn·cos(n·θ))···]]>+Σs=0SIfs+1s+1·Σn=1Nn2·(g4000sn·sin(n·θ)-h4000sn·cos(n·θ))---(102)]]>因此，所述雅可比行列式第二行的元素由以下表達式給出
J21=&PartialD;&PartialD;j1&PartialD;&PartialD;θT---(103)]]>J22=&PartialD;&PartialD;i2&PartialD;&PartialD;θT---(104)]]>J23=&PartialD;&PartialD;i3&PartialD;&PartialD;θT---(105)]]>通過改變方程(103)至(105)中偏導數的順序，可得J21=&PartialD;&PartialD;θJ11---(106)]]>J22=&PartialD;&PartialD;θJ12---(107)]]>J23=&PartialD;&PartialD;θJ13---(108)]]>顯式地J21=Σp=0PI1p·Σn=1Nn2·(-G1p00n·sin(n·θ)-H1p00n·cos(n·θ))···]]>+Σp=1Pp·I1p-1·Σq=0QI2q+1q+1·Σn=1Nn2·(-G2pq0n·sin(n·θ)-H2pq0n·cos(n·θ))···]]>+Σp=1Pp·I1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn2·(-G3pqrsn·sin(n·θ)-H3pqrn·cos(n·θ))---(109)]]>J22=Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σn=1Nn2·(-G2pq0n·sin(n·θ)-H2pq0n·cos(n·θ))···]]>+Σp=0PI1p·Σq=0Qq·I2q-1·Σr=0RI3r+1r+1·Σn=1Nn2·(-G3pqrsn·sin(n·θ)-H3pqrn·cos(n·θ))---(110)]]>J23=Σp=0PI1p·Σq=0QI2q·Σr=0RI3r·Σn=1Nn2·(-G3pqrsn·sin(n·θ)-H3pqrn·cos(n·θ))---(111)]]>在選擇電流中使用的準則可以是平衡所述饋電，也可以是最小化平方和。在最小平方和的情況下，以下被最小化Iss=Σk=13ik2---(112)]]>在下列情況下取得極小值
&PartialD;&PartialD;ikIss=2·ik=0---(113)]]>然后，所述雅可比行列式的第三行由以下形式的表達式給出J3k=&PartialD;2&PartialD;ik2Iss=2---(114)]]>可以結合所述αβ-FoR平滑轉矩解算器以與上述方式相同的方式將齒槽效應包括到解算器34中。
此外，以與使用αβ-FoR平滑轉矩解算器公開的方法類似的方法，可以同時計算給定區間內跨角度區間的解，而不是以逐點的方式計算。對于特定的轉矩和敏感度需求，將在以下各種角度計算解θ(k)對于所有k＝1，....，N電流列向量由下式給出I＝(ia(θ(1))....ia(θ(N))ib(θ(1))....ib(θ(N))icθ(1))....ic(θ(N)))T(115)如果新的I(n+1)＝I(n)+Δ(n) (116)則第k個轉矩向量為由下式定義的行向量φTk＝(0....0 T(θ(k)，ia(k)，ib(k)，ic(k))0....0)同樣，第k個敏感度向量由下式定義φSk＝(0....0 S(θ(k)，ia(k)，ib(k)，ic(k))0....0)最后，最小平方和電流由下式定義φIk＝(0....0 Iss(ia(k)，ib(k)，ic(k)0....0)可以將這些向量疊加以形成對角矩陣A=φT1···φTN]]>B=φS1···φSN]]>C=φI1···φIN]]>因此，采用對于電流的適當偏導數，結果矩陣歸并形成一個3N×3N矩陣
Φ=&PartialD;&PartialD;iaA&PartialD;&PartialD;ibA&PartialD;&PartialD;icA&PartialD;&PartialD;iaA&PartialD;&PartialD;ibB&PartialD;&PartialD;icC&PartialD;&PartialD;iaA&PartialD;&PartialD;ibB&PartialD;&PartialD;icC---(117)]]>特定角度θ(k)處希望的轉矩、敏感度以及平方和的變化率分別為T(θ(k))S(θ(k))I(θ(k))在角度范圍內這些值的需求向量D由下式給出D=Td(θ(1))Td(θ(2))···Td(θ(N))Sd(θ(1))Sd(θ(2))···Sd(θ(N))I(θ(1))···I(θ(N))---(118)]]>并且從任意電流組合(ia，ib，ic)產生的轉矩和敏感度的實際值(其組成迭代解)由下面的列向量給出A=T(θ(1),ia(1),ib(1),ic(1))T(θ(2),ia(2),ib(2),ic(2))·····T(θ(N),ia(N),ib(N),ic(N))S(θ(1),ia(1),ib(1),ic(1))·····S(θ(N),ia(N),ib(N),ic(N))---(119)]]>使用此符號表示法并根據初始存在的推導
Δ(n)＝Φ-1·(D-A) (120)和I(n+1)＝I(n)+Δ(n)在本發明的一個實施例中，PM電機與通過此處描述的端變量建立的模型一起使用。據此，可以為各種負載計算平滑轉矩饋電。圖4示出了針對各種轉矩計算出的電流形狀，顯示了為平滑轉矩解決方法生成的三相電流。圖5示出了典型12-10PM電機的曲線，其中消除了接近該電機(2.5Nm)平均值的2％或最大額定轉矩的8％的噪聲和峰值(曲線示出了原始數據)脈動。
已經假定所述電氣模型的各個分量以及對應的轉矩模型包含多項式與三角函數的乘積。在替代實施例中，上述多項式由真實正交函數來替代。這些正交函數以遞歸的方式從多項式來構建。在以下形式的特定多項式中1，x，x2，x3，x4，x5由以下形式的表達式來替代12,32·x,58·(3x2-1),78·(5·x3-3·x),38·2·(35·x4+3-30·x2),43659128·(x5-7063·x3+1563·x)]]>為何要優選使用真實正交函數的模型存在許多充分的理論和實際原因。通常，可以導出具有更少的項且更精確的模型。當電流項的階增長到2以上時，這樣的陳述是正確的。了解這種數學結構的那些人員可以很好地理解其理論原因。簡單地說，彼此正交的模型分量不會以有害的方式相互作用。可以避免不必要的模型復雜性，并且結果是改善了通過上述諸變換實現的轉矩估計。
推導所需數學表達式的必要過程本質上與先前描述的過程相同。為了簡潔，沒有不必要地重復平衡饋電情況的相關推導，便提供了關鍵的數學表達式和符號。
使變量x的第r階正交函數為gr(x)則磁通的表達式為
λφ(iα,iβ,θ)=Σp=0Pgp(iα)·Σq=0Qgq(iβ)·Σr=0Rgr(if)·Σn=0N(aφpqrn·sin(n·θ)+bφpqrn·cos(n·θ))]]>磁通的導數由下式給出ddtλφ=Σp=0Pfp(iα)·(ddtiα)Σq=0Qgq(iβ)·Σr=0Rgr(if)·Σn=0N(aφpqrn·sin(n·θ)+bφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pgp(iα)·Σq=0Qfq(iβ)(ddtiβ)·Σr=0Rgp(if)·Σn=0N(aφpqrn·sin(n·θ)+bφpqrn·cos(n·θ))..]]>+Σp=0Pgp(iα)·Σq=0Qgq(iβ)·Σr=0Rfr(iβ)·(ddtif)·Σn=0N(aφpqrn·sin(n·θ)+bφpqrn·cos(n·θ))...]]>+Σp=0Pgp(iα)·Σq=0Qgq(iβ)·Σr=0Rgr(if)·Σn=0Nn·ω·(aφpqrn·cos(n·θ)-bφpqrn·sin(n·θ))]]>其中ddxgp(x)=fp(x)]]>然后，將電氣方程寫成vφω=Rφω+iαω·Rφα+iβω·Rφβ+iα·iβω·Rφαβ...]]>+[1ω·(ddtiα)]·Σp=0Pfp(iα)·Σq=0Qgq(iβ)·Σn=0N(Aφpqrn·sin(n·θ)+Bφpqrn·cos(n·θ))··]]>+[1ω·(ddtiβ)]·Σp=0Pgp(iα)·Σq=0Qfq(iβ)·Σn=0N(Aφpqrn·sin(n·θ)+Bφpqrn·cos(n·θ))··]]>+Σp=0Pgp(iα)·Σq=0Qgq(iβ)·Σn=1Nn·(Aφpqrn·cos(n·θ)-Bφpqrn·sin(n·θ))]]>同能量以類似于先前所述的方式導出ωc=Σp=0P(hp(Iα)-hp(0))·Σq=0Qgq(Iβ)·Σn=0N(Aapqrn-12·Abpqrn-12·Acpqrn)·sin(n·θ)...+(Bapqrn-12·Bbpqrn-12·Bcpqrn)·cos(n·θ)···]]>+Σp=0Pgp(0)·Σq=0Q(hq(Iβ)-hq(0))·Σn=0N(-32·Abpqrn+32·Acpqrn)·sin(n·θ)...+(-32·Abpqrn+32·Acpqrn)·cos(n·θ)]]>其中
hp(x)＝∫fp(x)dx然后，轉矩由下式給出T=Σp=0P(hp(Iα)-hp(0))·Σq=0Qgq(Iβ)·Σn=0Nn·(Aapqrn-12·Abpqrn-12·Acpqrn)·cos(n·θ)...+-(Bapqrn-12·Bbpqrn-12·Bcpqrn)·sin(n·θ)···]]>+Σp=0Pgp(0)·Σq=0Q(hq(Iβ)-hq(0))·Σn=0Nn·(-32·Abpqrn+32·Acpqrn)·cos(n·θ)...+(-32·Abpqrn+32·Acpqrn)·sin(n·θ)]]>與先前一樣，現在可以定義計算必要電流值以獲得期望解的解算器。
與真正地標準正交的模型分量的使用關聯的一個特性和優點是僅使用所提供的最基本的模型，也可以相互隔離地計算其他更多標準正交模型分量的參數。也就是說，可以通過添加一個新的標準正交表達式來改進模型。所估計的模型分量的參數和新的模型分量可以根據與其關聯的參數的數量被保留或者丟棄。
以這種方式，可以以數字上高效而優雅的方式來篩選許多不同的模型分量，以便確定是否應在模型中包含這些分量。更具體地說，所述模型擬合過程可以是完全自動的。從非常基本的模型(存在電阻項、不隨角度變化的電感)開始，可以自動選擇模型分量。從上述的基本模型開始，可以通過選擇一個或多個附加的“候選”基函數來擴展所述電氣模型。重新建立所述模型會產生一組新的模型參數。
那些具有重要系數或參數的模型(或函數)部分會被保留，而其他部分被拒絕。用于重要模型分量的測試可以與測試所述系數的絕對值是否大于當前最大參數的絕對值的某個預定百分比一樣簡單。這種篩選過程考慮了模型的自動建立。是標準正交基函數(由于它們的最小相互作用)的使用為此類活動創造了條件。如果使用了“標準”多項式，則所述篩選過程會變得混亂。
此處公開的所述自適應控制方案具有若干應用。例如。根據本發明的特定實施例，所述控制方案被嵌入速度控制回路以便在速度伺服應用中使用。以上公開的特定實施例只是示例性的，因為可以使用不同但等同的方式對本發明進行修改和實施，這些修改和實施對于從此處的教導受益的本領域的技術人員來說是顯而易見的。例如，使用多項式與三角函數的乘積的所述電氣模型可以被寫成多項式與復指數的乘積λφ=Σp=0Piαp·Σq=0Qiβq·Σr=0Rifr·Σn=-NNeφpqrn·exp(i·n·θ)]]>此外，并未旨在限制此處示出的構造或設計的細節，除以下權利要求中描述的以外。因此，很明顯可以對以上公開的特定實施例進行變更或修改，并且所有此類改變都被看作在本發明的范圍和精神之內。因此，此處尋求的保護與以下權利要求中陳述的相同。
權利要求
1.一種用于控制旋轉電磁電機的方法，所述電機包括定子以及相對該定子旋轉的轉子，所述定子包括多個相繞組，所述方法包括接收關于相對所述定子的所述轉子位置的反饋；接收關于所述相繞組的激勵的反饋；根據所述轉子位置和激勵反饋推導出第一數學模型以描述所述電機的電氣行為；通過所述第一數學模型的數學變換來推導出第二數學模型以描述所述電機的轉矩特性；接收轉矩需求信號；以及通過所述第二數學模型和所述轉矩需求信號來計算相激勵電流值。
2.權利要求1的方法，進一步包括使用所述計算出的相激勵電流值來激勵所述相繞組。
3.權利要求1的方法，其中所述第一數學模型是非線性的。
4.權利要求1的方法，其中所述第一數學模型描述所述電機在預定運行范圍內的電氣行為。
5.權利要求3的方法，其中由所述第一數學模型描述的所述電氣行為包括在所述預定運行范圍內電壓、電流以及轉子位置之間的關系。
6.權利要求1的方法，其中所述第一和第二數學模型包括由多項式與三角函數的乘積組成的分量。
7.權利要求1的方法，其中所述第一和第二數學模型包括由正交函數組成的分量。
8.權利要求1的方法，其中所述第一數學模型包括遞歸地估計的參數。
9.權利要求8的方法，其中在參數估計中不使用超出預定時效的已收集的數據。
10.權利要求1的方法，進一步包括生成將轉矩需求值與所述相激勵電流值相關的查找表。
11.權利要求1的方法，其中計算所述相激勵電流值包括按照希望的電機行為來計算所述相激勵電流值。
12.權利要求11的方法，其中所述希望的電機行為包括最小化轉矩脈動。
13.權利要求12的方法，其中進一步計算所述相激勵電流以減小對轉子位置測量誤差的敏感度。
14.權利要求1的方法，進一步包括在預定時刻更新所述第二數學模型。
15.權利要求14的方法，其中所述預定時刻出現在所述電機未運行時。
16.權利要求2的方法，其中使用平衡饋電來激勵所述相繞組。
17.權利要求1的方法，其中推導所述第二數學模型包括為空載相關的齒槽效應轉矩建模。
18.權利要求17的方法，其中為所述空載相關的齒槽效應轉矩建模包括以預定角速度旋轉無載的轉子；測量所述相繞組的電壓和電流；確定與所述電壓和電流測量值關聯的所述轉子位置；根據所述測量的電壓和轉子位置來推導出第一數學模型以描述所述電機的電氣行為；通過所述第一數學模型的數學變換來推導出第二數學模型以描述所述電機的轉矩特性；激勵所述繞組以便使所述轉子保持預定位置；以及通過所述第二數學模型來計算所述預定位置的齒槽效應轉矩。
19.一種用于控制旋轉電磁電機的系統，所述電機包括具有多個相繞組的定子、相對于所述定子旋轉的轉子以及連接到所述相繞組以便激勵所述繞組的驅動裝置，所述控制系統包括估計器，其可連接到所述電機以便接收代表所述相繞組電壓和轉子位置的信號；所述估計器根據所述接收到的電壓和轉子位置來輸出針對所述電機的電氣模型的參數估計；轉矩模型，其接收來自所述估計器的所述參數估計，所述轉矩模型為關聯的轉子位置-相電流組合輸出轉矩的估計值；以及控制器，其具有輸入端子以便接收轉矩需求信號和所述轉子位置信號，所述控制器適合于將控制信號輸出到所述驅動裝置以響應所述轉矩需求信號、轉子位置信號以及所述轉矩模型。
20.權利要求19的系統，其中所述估計器在預定時刻輸出所述模型參數。
21.權利要求20的系統，其中所述預定時刻包括當所述旋轉電機未運行時的時刻。
22.權利要求19的系統，進一步包括被連接到所述轉矩模型和所述控制器的解算器，所述解算器計算相電流形狀以激勵所述電機實現預定的電機行為。
23.權利要求22的系統，其中所述預定電機行為包括最小化轉矩脈動。
24.權利要求23的系統，其中進一步計算所述相激勵電流以減小對轉子位置測量誤差的敏感度。
25.權利要求22的系統，其中由所述解算器計算的所述電流形狀被存儲在所述控制器可以訪問的查找表中。
26.權利要求22的系統，其中所述解算器在預定時刻更新所述電流形狀。
27.一種旋轉電磁電機系統，所述系統包括定子；安置在所述定子中的多個相繞組；安置成相對所述定子旋轉的轉子；轉子位置傳感器，其輸出代表相對于所述定子的所述轉子位置的信號；驅動裝置，其被連接到所述相繞組以便激勵所述繞組；估計器，其被連接到所述相繞組和所述轉子位置傳感器以接收代表所述相繞組電壓和轉子位置的信號；所述估計器根據所述接收到的電壓和轉子位置來輸出針對所述電機的電氣模型的參數估計；轉矩模型，其接收來自所述估計器的所述參數估計，所述轉矩模型為關聯的轉子位置-相電流組合輸出轉矩的估計值；以及控制器，其具有輸入端子以便接收轉矩需求信號和所述轉子位置信號，所述控制器適合于將控制信號輸出到所述驅動裝置以響應所述轉矩需求信號、轉子位置信號以及所述轉矩模型。
28.權利要求27的系統，進一步包括被連接到所述轉矩模型和所述控制器的解算器，所述解算器計算相電流形狀來激勵所述相繞組以實現預定的電機行為。
29.權利要求28的系統，其中由所述解算器計算的所述電流形狀被存儲在所述控制器可以訪問的查找表中。
30.權利要求27的系統，其中所述驅動裝置使用平衡饋電來激勵所述相繞組。
31.一種確定永磁電機中空載相關的齒槽效應轉矩的方法，所述電機具有定子、多個具有可連接到電源以便激勵繞組的端子的定子繞組、安置成相對所述定子旋轉的轉子，所述方法包括以預定角速度旋轉無載的轉子；測量所述電機端子處的電壓和電流；確定與所述電壓和電流測量值關聯的所述轉子位置；根據所述測量的電壓和轉子位置來推導出第一數學模型以描述所述電機的電氣行為；通過所述第一數學模型的數學變換來推導出第二數學模型以描述所述電機的轉矩特性；激勵所述繞組以便使所述轉子保持預定位置；以及通過所述第二數學模型來計算所述預定位置的齒槽效應轉矩。
32.權利要求31的方法，進一步包括在所述轉子的完整回轉四周為多個預定位置計算所述齒槽效應轉矩。
33.權利要求31的方法，其中旋轉無載的轉子包括旋轉不通電的轉子。
34.權利要求31的方法，其中以多個預定角速度旋轉所述轉子。
全文摘要
一種用于控制旋轉電磁電機的系統和方法。驅動裝置被連接到所述電機的相繞組以便激勵該繞組。估計器可連接到所述電機以便接收代表所述相繞組電壓和轉子位置的信號。所述估計器根據所述接收到的電壓和轉子位置來輸出針對所述電機的電氣模型的參數估計。轉矩模型接收來自所述估計器的所述參數估計以估計所述電機的關聯轉子位置－相電流組合的轉矩。控制器將控制信號輸出到所述驅動裝置以響應轉矩需求信號、轉子位置信號以及所述轉矩模型。在特定實施例中，解算器使用所述轉矩模型根據期望的電機行為(例如平滑轉矩和/或對轉子位置測量中誤差的最小敏感度)來生成激勵電流形狀。
文檔編號H02P21/14GK1669211SQ03817006
公開日2005年9月14日申請日期2003年5月20日優先權日2002年5月21日
發明者M·I·亨德森, J·G·馬爾欽凱維奇申請人:美國艾默生電氣公司

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