一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法
【專利摘要】本發明公開了一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，首先，針對受等值角拉力的直邊正多邊形薄膜結構，確定其褶皺區域半徑和褶皺形態參數；其次，針對正多邊形弧邊結構，根據應力場假設模型，得到最優的弧邊形狀。該方法利用應力分布理論，確定褶皺區域半徑，通過假設褶皺形態描述方程和應變相容方程，推導出褶皺形態參數，包括褶皺幅值、褶皺數以及褶皺半波長，可以得出隨著正多邊形薄膜結構邊數的增加，褶皺區域及褶皺幅值隨之減小的規律。在此基礎上，引入弧邊結構用以減小褶皺，并提出了適用于正多邊形弧邊結構的應力場假設模型，給出最優弧邊確定方法，保證無褶皺的有效面積最大，提高了薄膜表面精度。
【專利說明】
一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法
技術領域
[0001] 本發明屬于機械工程領域，具體是一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確 定方法，用于減小薄膜表面褶皺，提高表面精度。
【背景技術】
[0002] 薄膜材料由于質量輕、收藏體積小、成本低、易折疊等優點，在星載大口徑陣列天 線、空間太陽能電站聚光器、太陽帆等領域具有廣闊的應用前景。但由于薄膜的彎曲剛度較 小，受到外載荷時容易產生局部不穩定而引起褶皺，褶皺的出現會降低薄膜的形面精度，使 得光、電性能急劇下降。因此有效抑制褶皺，提高表面精度成為亟待解決的問題。國內外的 學者對此做出大量研究，其中一種方法是通過優化薄膜結構以消除局部褶皺，盡可能地提 高表面精度，基本上可以分成三種結構：
[0003] 一種是索一膜結構，即在薄膜邊界上粘貼邊索，Sakamoto，H.，Park，K.，Miyazaki, Y.在《Acta Astronaut》，2007年 5 月第10 期發表的論文"Evaluation of membrane structure designs using boundary web cables for uniform tensioning" 中提出了一 種索網結構。這種結構邊界上增加多層邊鎖，可以提高邊界剛度，在邊界拉力作用下可抑制 褶皺的形成，但是卻增大了薄膜結構的質量。
[0004] -種是貼片結構，即在薄膜結構拉力點附近粘貼薄膜貼片，通過增加薄膜厚度，提 高拉力點附近剛度，Lim C.W.，To;ropov C.W.，Ye J.在《Proceedings of the Eleventh International Conference on Computational Structures Technology〉〉，2012年發表的 論文"Shape Optimization of Membrane Structures based on Finite Element Simulation"通過優化貼片的形狀和厚度達到減小褶皺的目的，這種方法只能影響局部區 域的應力分布情況，在抑制褶皺方面效果不是很理想。
[0005] 還有一種是弧邊結構，即將薄膜邊界裁剪為弧形，Martin Mikulas，Aaron Adler 在《44th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference》，2003年4月發表的論文 "Rapid Structural Assessment Approach for Square Solar Sails Including Edge Support Cords" 中提出 了弧邊結構，Xiaoyun Wang,Christian Sulik^WanpingZhengJan-RuHi^Marie-JoseeJotvin^S^gthAIAA/ ASME/ASCE/AHS/ASC Structures ,Structural Dynamics,and Materials Conference》， 2008年4月發表的論文"High-Fidelity Wrinkling Analysis of Membrane Structures and Elliptical Cut Optimization"中驗證了弧邊結構對抑制裙皺的有效性。這種結構在 不增加薄膜結構質量的前提下可以減小褶皺，但是對于弧邊裁剪形狀并沒有給出定量分 析，無法保證無褶皺的有效面積最大。
【發明內容】
[0006]本發明的目的是克服現有技術中存在的上述問題，提供一種正多邊形平面薄膜結 構的最優弧邊確定方法，減少表面褶皺，同時保證有效面積最大。
[0007] 本發明的技術方案是:一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，它 至少包括如下步驟：
[0008] (1)確定直邊正多邊形受等值角拉力時的褶皺區域半徑；
[0009] (2)在步驟(1)的基礎上，通過假設褶皺形態描述方
其中A為褶皺幅值，Rwrin為褶皺區域半徑，r為距離頂點的距離，η為施加拉力的長度，q為褶 皺數，Θ為距中心線任意一處的角度，α為多邊形內角的一半；以及應變兼容方程ε 〇g = ε 〇m+ εewrin，其中εeg為總的環向應變，εem為薄膜本身的環向應變，εe wrin裙皺引起的環向應變，最終 推導出褶皺區域內的褶皺幅值公式，并給出最大褶皺幅值；
[0010] (3)基于步驟(2)得到的褶皺幅值公式，引入褶皺區域面外平衡方程~κτ+〇θκ θ = 〇， 確定褶皺數以及褶皺半波長;其中，和σθ分別為薄膜的徑向應力和環向應力，κ4Ρκθ分別 為褶皺的徑向曲率和環向曲率；
[0011] (4)針對正四邊形結構，以頂點為圓心，直邊正方形內切圓與正四邊形弧邊結構的 交點到相應頂點的距離為半徑畫弧，將薄膜結構分為兩部分，一部分為受單向應力的角區 域，一部分為受雙向應力的中心區域，得到正四邊形弧邊結構的應力場假設模型，并將該模 型推廣到正多邊形弧邊結構；
[0012] (5)基于步驟(4)中得到的正四邊形弧邊結構的應力場假設模型，根據步驟（1)推 出正四邊形弧邊結構受等值角拉力時的褶皺區域半徑；
[0013] (6)在步驟(5)的基礎上，根據最優弧邊判定準則，即保證正四邊形弧邊結構內切 圓內無褶皺出現，且其無褶皺有效面積不小于直邊正方形內切圓面積的85%，得到正四邊 形的最優弧邊形狀；
[0014] (7)基于步驟(4)中得到的正多邊形弧邊結構的應力場假設模型，根據步驟（1)推 出正多邊形弧邊結構受等值角拉力時的褶皺區域半徑；
[0015] (8)在步驟(7)的基礎上，根據所述最優弧邊判定準則，得到正多邊形的最優弧邊 形狀。
[0016] 上述步驟（1)中所述的確定直邊正多邊形受等值角拉力時的褶皺區域半徑，其方 法是:假設外接圓半徑為Rm，其內接直邊正多邊形薄膜結構為各向同性的線彈性體，邊長的 一半為R，多邊形邊數為n，楊氏模量為E，泊松比為v，當受到等值角拉力T時，以頂點為圓心， R為半徑畫弧，劃分的角區域只受徑向應力，其余的中心區域受到均勻的雙向應力;根據褶 皺狀態判斷條件，在受單向應力作用的角區域中當第二主應力出現負值時薄膜為褶皺狀 態，在受雙向應力作用的中心區域中薄膜為張緊狀態；
[0017] 分析在角拉力T作用下的直邊正多邊形的一個角區域的應力，直邊正多邊形內角 的一半為α，距離頂點r處的圓弧上受到的徑向應力 〇r可以表示為：
[0019]其中t為薄膜厚度，且徑向應力在圓弧上是均勻分布的，因此可以得到徑向應變 ：
[0021] 其中E為楊氏模量；
[0022] 在拉力T作用下產生的徑向位移u相當于徑向應變沿半徑方向的積分：
[0023] u = perdr+C (3)
[0024] 假設在中心區域的邊界線上，即r = R時，u = 0,可以推導出常數C的表達式，最終整 理可得：
[0026]當外接圓半徑Rm-定時，其內接直邊正多邊形邊長的一半R可以表示為邊數η的表 達式：
[0028]根據幾何兼容性，環向應變為：
[0030]而薄膜本身的環向應變與泊松比ν有關，可以表示為：
[0032]根據褶皺狀態判斷條件，在褶皺區域幾何環向應變將大于材料應變，gpeeg> eem， 整理可得
[0034]求解上式中r的最大值即為褶皺區域半徑
[0036] 因此確定褶皺區域為頂點附近r彡R"in的角區域。
[0037] 上述步驟(2)中所述的推導出褶皺區域內的褶皺幅值公式，并給出最大褶皺幅值， 其方法是：為了避免出現應力不收斂的情況，假設直邊正多邊形結構每個角被切去了一個 直角三角形，角拉力T是均勻分布在一條很小的直邊上，令此直邊長度為n = R/10;
[0038] 假設褶皺的面外變形函數w的表示形式為：
[0040] 其中A為褶皺幅值，Rwrin為褶皺區域半徑，r為距離頂點的距離，q為褶皺數，Θ為距 中心線任意一處的角度，α為多邊形內角的一半；
[0041] 在褶皺區域，即rSRwrin，引入褶皺引起的環向應變e0wrin，滿足如下應變兼容方程
[0042] εθ8=εθΜ+εθ?Γ?η (11)
[0043] 假設單條褶皺的半波長為λ，且可表示為
[0044] 將式(6)、（7)代入式(11)，可以得到：
[0048]根據式（10)可以得到，褶皺的最大幅值位于
θ = 〇處，此處的半波長 為：
[0052]上述步驟(3)中所述的確定褶皺數以及褶皺半波長，其方法是：
[0053]褶皺區域面外平衡方程為：
[0054] σΓκΓ+〇θΚθ = 0 (16)
[0055] 其中，ojPoe分別為薄膜結構的徑向應力和環向應力，κ4Ρκθ分別為褶皺的徑向曲 率和環向曲率，通過對式(1 〇)進行二次求導得到：
[0057]產生褶皺的臨界壓應力表示為：
[0059]在褶皺區域認為〇0 = 〇。，將式（17)、（18)代入式（16)中可以推出褶皺數q為：
[0061]將式(19)代入半波長的表達式
，可以得到褶皺半波長為：
[0063]從式(20)可以看出，褶皺半波長與距離頂點的半徑r有關，離頂點距離越大褶皺半 波長也隨之增大。
[0064]上述步驟(4)中所述的得到正四邊形弧邊結構的應力場假設模型，并將該模型推 廣到正多邊形弧邊結構的具體方法為：
[0065] 針對正四邊形弧邊結構，連接各個頂點，得到正四邊形弧邊結構的外接直邊正方 形，畫出該直邊正方形的內切圓，則此內切圓與正四邊形弧邊結構的四個弧邊有交點，然后 以各頂點為圓心，內切圓與弧邊的交點到相應頂點的距離為半徑畫弧，將薄膜結構分為兩 部分，一部分為受單向應力的角區域，一部分為受雙向應力的中心區域，得到的模型即為正 四邊形弧邊結構的應力場假設模型；
[0066]針對正多邊形弧邊結構，假設正多邊形弧邊結構的邊數為n，連接其各頂點，得到 正多邊形弧邊結構的外接直邊正η邊形，畫出該直邊正η邊形的內切圓，則此內切圓與正η邊 形弧邊結構的各邊有交點，然后以各頂點為圓心，內切圓與正多邊形弧邊結構的交點到相 應頂點的距離為半徑畫弧，將薄膜結構分為兩部分，一部分為受單向應力的角區域，一部分 為受雙向應力的中心區域，得到的模型即為正多邊形弧邊結構的應力場假設模型。
[0067] 此時受單向應力的角區域半徑為f，大小等于直邊正多邊形的內切圓與正多邊形 弧邊結構的弧邊的一個交點G到相應頂點A的距離。
[0068]上述步驟(5)的具體方法為：
[0069]根據正四邊形弧邊結構的應力分布模型，當外接圓半徑1 一定時，根據式(5)可得 其內接直邊正方形的邊長的一半為
，該直邊正方形的內切圓半徑也為R，則四分 之一圓弧方程為
多ojiSo;正四邊形弧邊結構的弧邊:S所在圓的半徑
J為弧邊拱高，弧:^的表達式為
〇彡y2彡R;交點G(xg，yg)通過求解下面的方程組得到：
[0071]頂點A的坐標為(RC，R)，因此
[0073]然后根據式（9)，得到正四邊形弧邊結構在等值角拉力T作用下的褶皺區域半徑 為：
[0075] 上述步驟(6)中所述的根據最優弧邊判定準則，得到正四邊形的最優弧邊形狀，的 具體方法為：
[0076] 隨著正四邊形弧邊結構弧邊拱高δ的增大，受單向應力的角區域半徑R'逐漸減小， 由式(23)可知褶皺區域半徑也隨之減小，但是δ增大會減小薄膜結構面積，必須找到一個最 優的拱高I減小褶皺的同時保證無褶皺的有效面積最大；
[0077]定義正四邊形弧邊薄膜結構的內切圓區域為有效區域，其半徑為Ru，根據最優弧 邊判定準則:保證此內切圓內無褶皺出現，且其面積不小于85% X3i(Rc)2,則保證了無褶皺 有效面積足夠大，此時的弧邊拱高為最優值，即滿足如下條件：
[0079] 求解式(24)，當無褶皺有效面積取得最大時，弧邊拱高與直邊邊長的比值為δ/1 = 3.2%，即為正四邊形的最優弧邊形狀。
[0080] 上述步驟(7)的具體方法為：
[0081] 當外接圓半徑Rm-定時，根據式(5)得到其內接直邊正多邊形的邊長的一半1?與1 的關系式，因此得到直邊正多邊形的內切圓的半徑
，則四分之一圓弧方程
xl>o，yi$o;正多邊形弧邊結構的弧邊;5所在圓的半徑為
，δ為弧邊拱尚，弧的表達式為
Ξ y2$R;交點G(xg，yg)可以通過求解下面的方程組得到：
[0083]頂點A的坐標為(R。，!?），因此
[0085]然后根據式(9)，可以得到正多邊形形弧邊結構在等值角拉力T作用下的褶皺區域 半徑為：
[0087]上述步驟(8)中所述的根據最優弧邊判定準則，得到正多邊形的最優弧邊形狀，的 具體方法為：
[0088]根據所述最優弧邊判定準則，假設正多邊形弧邊薄膜結構的內切圓半徑為Ru，相 應的直邊正多邊形內切圓半徑為R。，則應滿足：
[0090] 當正多邊形邊數n = 6時，求解式(28)，可以得到其最優弧邊形狀，此時弧邊拱高與 直邊邊長的比值為δ/1 = 4.8%。
[0091] 本發明的有益效果:本發明方法包括如下優點：
[0092] 1)給出了直邊正多邊形薄膜結構受等值角拉力作用下的褶皺區域半徑和褶皺形 態參數，得出褶皺區域及褶皺幅值隨薄膜結構邊數的增加而減小的規律。
[0093] 2)提出了一種新的適用于正多邊形弧邊薄膜結構的應力場分布模型，給出了最優 弧邊確定方法，有效地減少褶皺，同時保證無褶皺的有效面積最大。
[0094]以下將結合附圖對本發明做進一步詳細說明。
【附圖說明】
[0095]圖1是傳統應力場假設模型；圖la是直邊正方形結構的傳統應力場假設模型；圖lb 是直邊正六邊形結構的傳統應力場假設模型；圖lc是直邊正多邊形結構的傳統應力場假設 模型；
[0096]圖2是角區域應力圖；
[0097]圖3a是角區域褶皺形態；
[0098]圖3b是單條褶皺細節圖；
[0099]圖4是正四邊形弧邊結構的應力分布模型；
[0100]圖5是正四邊形最優弧邊模型；
[0101 ]圖6是正多邊形弧邊結構的應力分布模型的局部圖；
[0102]圖7是正六邊形弧邊結構的應力分布模型；
[0103]圖8是Ansys仿真分析得到的第二主應力分布云圖；圖8a是直邊正方形結構云圖； 圖8b是正四邊形弧邊結構(δ/L = 3.2%)云圖；
[0104] 圖9是Ansys仿真分析得到的褶皺形態圖；圖9a是直邊正方形結構形態圖；圖9b是 正四邊形弧邊結構(VL = 3.2 % )形態圖；
[0105] 圖10是D-D處面外變形曲線；圖10a是直邊正方形結構曲線；圖10b是正四邊形弧邊 結構曲線。
【具體實施方式】
[0106] 本發明提供了一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，包括如下步 驟及內容：
[0107] (1)正多邊形薄膜結構受等值角拉力時的褶皺區域半徑的確定
[0108] 對于圖1所示的傳統應力場假設模型，外接圓半徑為1，其內接直邊正多邊形薄膜 結構為各向同性的線彈性體，邊長的一半為R，直邊正多邊形邊數為n，楊氏模量為E，泊松比 為V，當受到等值角拉力T時，角區域只受徑向應力，中心區域受到均勻的雙向應力。根據褶 皺狀態判斷條件，在受單向應力作用的角區域中當第二主應力出現負值時薄膜為褶皺狀 態，在受雙向應力作用的中心區域薄膜為張緊狀態。其中圖la是直邊正方形結構的傳統應 力場假設模型；圖lb是直邊正六邊形結構的傳統應力場假設模型；圖la是直邊正多邊形結 構的傳統應力場假設模型。
[0109] 圖2給出了在角拉力T作用下的直邊正多邊形的一個角區域應力圖，直邊正多邊形 內角的一半為α，距離頂點r處的圓弧上受到的徑向應力可以表示為：
[0111]其中t為薄膜厚度，且徑向應力在圓弧上是均勻分布的，因此可以得到徑向應變 ：
[0113] 在拉力T作用下產生的徑向位移u相當于徑向應變沿半徑方向的積分：
[0114] u = /erdr+C (3)
[0115] 假設在中心區域的邊界線上，即r = R時，u = 0。可以推導出常數C的表達式，最終整 理可得：
[0117]當外接圓半徑Rm-定時，其內接直邊正多邊形邊長的一半R可以表示為邊數η的表 達式：
[0119]根據幾何兼容性，環向應變為：
[0121 ]而薄膜本身的環向應變跟泊松比ν有關，可以表示為：
[0123]根據褶皺狀態判斷條件，在褶皺區域幾何環向應變將大于材料應變，gpeeg> eem， 整理可得
[0125]求解上式中r的最大值即為褶皺半徑
[0127] 因此確定褶皺區域為頂點附近的角區域。
[0128] (2)褶皺區域內褶皺幅值的確定
[0129] 為了避免出現應力不收斂的情況，假設直邊正多邊形結構每個角被切去了一個直 角三角形，角拉力T是均勻分布在很小的直邊上的，如圖3a所示，令 ri = R/10。圖3b描述了單 條褶皺形態參數。
[0130] 假設褶皺的面外變形函數w的表示形式為：
[0132]其中A為褶皺幅值，Rwrin為褶皺區域半徑，r為距離頂點的距離，q為褶皺數，Θ為距 中心線任意一處的角度，α為多邊形內角的一半;假設單條褶皺的半波長為λ，則：
[0134] 在褶皺區域，即r彡Rwrin，引入褶皺引起的環向應變e0wrin，滿足如下應變兼容方程
[0135] ￡ 9g-S0m+S0wrin (12)
[0137] 將式(6)、（7)代入式（12)，可以得到：
[0141]根據式（10)可以得到，褶皺的最大幅值位于
，θ = 0處，此處的半波長 為：
[0143]則最大褶皺幅值為：
[0145] (3)褶皺區域內褶皺半波長和褶皺數的確定
[0146]褶皺區域面外平衡方程為：
[0147] σΓκΓ+〇θΚθ = 0 (17)
[0148] 其中，(^和〇0分別為薄膜的徑向應力和環向應力，κ4Ρκθ分別為徑向曲率和環向曲 率，如圖3b所示，可以通過對式（10)進行二次求導得到：
[0150]產生褶皺的臨界壓應力可以表示為：
[0152]在褶皺區域認為〇0 = 〇。，因此將式（18)、（19)代入式（17)中可以推出褶皺數：
[0154]將式(20)代入半波長的表達式(11)中，可以得到褶皺半波長為：
[0156] 從式(21)可以看出，褶皺半波長與距離頂點的半徑r有關，離頂點距離越大褶皺波 長也隨之增大。
[0157] (4)正多邊形弧邊結構應力場假設模型的提出：
[0158] 將薄膜結構邊界裁剪為弧邊形狀可有效減小褶皺，然而傳統的應力場分布模型將 不適用于弧邊模型，因此本發明提出了一種新的弧邊結構應力場假設模型如圖4所示，針對 正四邊形弧邊結構，連接各個頂點，得到正四邊形弧邊結構的外接直邊正方形，畫出該直邊 正方形的內切圓，則此內切圓與正四邊形弧邊結構的四個弧邊有交點，然后以各頂點為圓 心，內切圓與弧邊的交點到相應頂點的距離為半徑畫弧，將薄膜結構分為兩部分，一部分為 受單向應力的角區域，一部分為受雙向應力的中心區域，得到的模型即為正四邊形弧邊結 構的應力場假設模型；
[0159] 該模型可以推廣到正多邊形弧邊結構，假設正多邊形弧邊結構的邊數為n，連接其 各頂點，得到正多邊形弧邊結構的外接直邊正η邊形，畫出該直邊正η邊形的內切圓，則此內 切圓與正η邊形弧邊結構的各邊有交點，然后以各頂點為圓心，內切圓與正多邊形弧邊結構 的交點到相應頂點的距離為半徑畫弧，將薄膜結構分為兩部分，一部分為受單向應力的角 區域，一部分為受雙向應力的中心區域，得到的模型即為正多邊形弧邊結構的應力場假設 模型。
[0160] 此時受單向應力的角區域半徑為f 大小等于直邊正多邊形的內切圓與 正多邊形弧邊結構的弧邊的一個交點G到相應頂點A的距離。
[0161] (5)正四邊形弧邊結構受等值角拉力時的褶皺區域半徑的確定
[0162]根據圖4所示，當外接圓半徑1 一定時，根據式(5)可得其內接直邊正方形的邊長 的一半為
，則該直邊正方形的內切圓半徑也為R，則四分之一圓弧方程為
，X1多0，yi>0 ;正四邊形弧邊結構的弧邊：?所在圓的半徑為
，δ為弧邊拱尚，弧ig.的表達式為
、，〇< y2$R;交點G(xg，yg)可以通過求解下面的方程組得到：
[0164]頂點A的坐標為(RC，R)，因此
[0166]然后根據式(9)，可以得到正四邊形弧邊結構在等值角拉力T作用下的褶皺區域半 徑為：
[0168] (6)正四邊形最優弧邊形狀的確定方法
[0169] 隨著正四邊形弧邊結構弧邊拱高δ的增大，受單向應力的角區域半徑R'逐漸減小， 由式(24)可知褶皺區域半徑也隨之減小，但是δ增大會減小薄膜結構面積，必須找到一個最 優的拱高S，減小褶皺的同時保證無褶皺的有效面積最大，圖5給出了最優弧邊形狀模型；；
[0170] 定義正四邊形弧邊薄膜結構的內切圓區域為有效區域，其半徑為Ru，根據最優弧 邊判定準則:保證此內切圓內無褶皺出現，且其面積大于85% X3i(Rc)2,則保證了無褶皺有 效面積足夠大，此時的弧邊拱高為最優值，即滿足如下條件：
[0172]求解式(25)，當無褶皺有效面積取得最大時，弧邊拱高與直邊邊長的比值為δ/1 = 3.2%，即為正四邊形的最優弧邊形狀。
[0173] (7)正多邊形弧邊結構受等值角拉力時的褶皺區域半徑的確定
[0174]圖6給出了正多邊形弧邊結構應力場模型的局部圖，當外接圓半徑1 一定時，根據 式(5)可以得到其內接直邊正多邊形的邊長的一半R與心的關系式，因此可以得到直邊正多 邊形的內切圓的半徑
，則四分之一圓弧方程
〇;正多邊形弧邊結構的弧邊所在圓的半徑
，s為弧邊拱高，弧i的
，0彡72彡1?;交點6(18,7 8)可以通過求解下面的 方程組得到：
[0176]頂點A的坐標為(RC，R)，因此
[0178]然后根據式(9)，可以得到正多邊形形弧邊結構在等值角拉力T作用下的褶皺區域 半徑為：
[0180] (8)正多邊形最優弧邊形狀的確定方法
[0181]根據最優弧邊判定準則：一是正多邊形弧邊結構的內切圓區域內無褶皺;二是該 內切圓面積應不小于相應的直邊正多邊形內切圓面積的85%。假設正多邊形弧邊薄膜結構 的內切圓半徑為Ru，相應的直邊正多邊形內切圓半徑為R。，則應滿足：
[0183] 當正多邊形邊數n = 6時，圖7給出了正六邊形弧邊結構的應力分布模型，求解式 (29)，可以得到其最優弧邊形狀，此時弧邊拱高與直邊邊長的比值為δ/1 = 4.8%。
[0184] 下面結合一個典型的正四邊形薄膜結構說明本發明的具體實施過程，結構參數如 表1所示。
[0185] 表1
[0187]在Ansys軟件中選取SHELL181單元模擬薄膜結構進行仿真分析，并通過相關實驗 驗證本發明方法的有效性。
[0188] 該方法的具體步驟如下：
[0189] (1)根據傳統應力分布假設理論，確定直邊正多邊形受等值角拉力時的褶皺區域 半徑，并通過假設褶皺形態描述方程及應變相容方程，推導出褶皺幅值、波長以及褶皺數， 分析了褶皺區域和幅值隨直邊正多邊形結構邊數的變化趨勢。
[0190] (2)給出正多邊形弧邊結構的應力場分布模型，以及最優弧邊設計步驟，確定最優 的弧邊拱高和直邊邊長比值。并通過Ansys軟件進行仿真分析，選取SHELL181單元模擬薄膜 結構。
[0191] (3)設計拉伸薄膜實驗框架，薄膜邊界與拉索連接，利用測力傳感器確定拉索上施 加的拉力值。采用攝影測量技術得到褶皺的面外變形信息，進一步驗證方法的有效性。
[0192] (4)褶皺區域半徑：圖8給出了直邊正方形結構和正四邊形弧邊結構的第二主應力 分布云圖，第二主應力為負值的區域即為褶皺區域。其中，圖8a給出了直邊正方形結構褶皺 區域半徑圮.;7>;;圖8b中標出了正四邊形弧邊結構褶皺區域半徑，給出了理論值 <胃和仿真 值表2給出了褶皺半徑理論值和仿真值的對比結果;可以看出弧邊幅度δ/1 = 3.2% 時，褶皺區域半徑明顯減小，有效減小了褶皺區域，但是仿真值比理論值要大一點，是因為 在進行仿真分析時需要施加足夠大的初始缺陷才可以產生褶皺，該初始缺陷導致仿真值比 理論值偏大。
[0193] 表2
[0195] (5)褶皺形態：圖9是在角拉力T= 10N時由Ansys仿真得到的褶皺形態圖，其中，圖 9a是直邊正四邊結構的褶皺形態；圖9b是正四邊形弧邊結構的褶皺形態;可以看出在同樣 的角拉力作用下正四邊弧邊結構面外變形明顯比直邊正四邊結構小，進一步提高了薄膜表 面精度。
[0196] (6)面外變形曲線：圖10是距離頂點70mm處（圖9中直線DD處）的面外變形的實驗結 果與仿真結果對比曲線，其中，圖l〇a是直邊正方形結構的面外變形曲線；圖10b是正四邊形 弧邊結構的面外變形曲線;從對比曲線可以看出中間區域的實驗結果與仿真分析結果基本 保持一致，但是實驗得到的曲線在邊緣處出現了卷曲現象，導致邊緣出幅值較大，此問題還 有待進一步研究，
θ = 〇處的褶皺幅值對比結果;可以看出理論值、仿 真值和實驗值基本一致，驗證了本方法的正確性，同時可以看出弧邊結構最大褶皺幅值比 直邊結構最大褶皺幅值小很多，進一步證明了本發明給出的最優弧邊模型在減小褶皺上的 有效性。
[0197] 表3
[0199] 結果分析:本發明針對正多邊形平面薄膜結構提出了相對有效的最優弧邊確定方 法，可以有效地減小褶皺，保證無褶皺有效面積最大，提高表面精度，這對實際的工程應用 有著重要的指導價值。
[0200] 本實施方式中沒有詳細敘述的部分屬本行業的公知的常用手段，這里不一一敘 述。以上例舉僅僅是對本發明的舉例說明，并不構成對本發明的保護范圍的限制，凡是與本 發明相同或相似的設計均屬于本發明的保護范圍之內。
【主權項】
1. 一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特征是：它至少包括如下 步驟： (1) 確定直邊正多邊形受等值角拉力時的褶皺區域半徑； (2) 在步驟（1)的基礎上，通過假設褶皺形態描述方程其中A為褶皺幅值，Rwrin為褶皺區域半徑，r為距離頂點的距離，η為施加拉力的長度，q為褶 皺數，Θ為距中心線任意一處的角度，α為多邊形內角的一半；以及應變兼容方程ε 〇g = ε 〇m+ εewrin，其中εeg為總的環向應變，εem為薄膜本身的環向應變，εe wrin裙皺引起的環向應變，最終 推導出褶皺區域內的褶皺幅值公式，并給出最大褶皺幅值； (3) 基于步驟(2)得到的褶皺幅值公式，引入褶皺區域面外平衡方程〇rKr+〇eKe = 0,確定 褶皺數以及褶皺半波長;其中，和σθ分別為薄膜的徑向應力和環向應力，Kr和^分別為褶 皺的徑向曲率和環向曲率； (4) 針對正四邊形結構，以頂點為圓心，直邊正方形內切圓與正四邊形弧邊結構的交點 到相應頂點的距離為半徑畫弧，將薄膜結構分為兩部分，一部分為受單向應力的角區域，一 部分為受雙向應力的中心區域，得到正四邊形弧邊結構的應力場假設模型，并將該模型推 廣到正多邊形弧邊結構； (5) 基于步驟(4)中得到的正四邊形弧邊結構的應力場假設模型，根據步驟（1)推出正 四邊形弧邊結構受等值角拉力時的褶皺區域半徑； (6) 在步驟(5)的基礎上，根據最優弧邊判定準則，即保證正四邊形弧邊結構內切圓內 無褶皺出現，且其無褶皺有效面積不小于直邊正方形內切圓面積的85%，得到正四邊形的 最優弧邊形狀； (7) 基于步驟(4)中得到的正多邊形弧邊結構的應力場假設模型，根據步驟（1)推出正 多邊形弧邊結構受等值角拉力時的褶皺區域半徑； (8) 在步驟(7)的基礎上，根據所述最優弧邊判定準則，得到正多邊形的最優弧邊形狀。2. 根據權利要求1所述的一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特 征是:步驟（1)中所述的確定直邊正多邊形受等值角拉力時的褶皺區域半徑，其方法是:假 設外接圓半徑為1，其內接直邊正多邊形薄膜結構為各向同性的線彈性體，邊長的一半為 R，多邊形邊數為n，楊氏模量為E，泊松比為V，當受到等值角拉力T時，以頂點為圓心，R為半 徑畫弧，劃分的角區域只受徑向應力，其余的中心區域受到均勻的雙向應力;根據褶皺狀態 判斷條件，在受單向應力作用的角區域中當第二主應力出現負值時薄膜為褶皺狀態，在受 雙向應力作用的中心區域中薄膜為張緊狀態； 分析在角拉力T作用下的直邊正多邊形的一個角區域的應力，直邊正多邊形內角的一 半為α，距離頂點r處的圓弧上受到的徑向應力〇r可以表示為：其中t為薄膜厚度，且徑向應力在圓弧上是均勻分布的，因此可以得到徑向應變er: Sr (2) t 其中E為楊氏模量； 在拉力T作用下產生的徑向位移u相當于徑向應變沿半徑方向的積分： u = /erdr+C (3) 假設在中心區域的邊界線上，即r = R時，u = 0,可以推導出常數C的表達式，最終整理可 得：當外接圓半徑Rm-定時，其內接直邊正多邊形邊長的一半R可以表示為邊數η的表達式： ζ η根據幾何兼容性，環向應變為：而薄膜本身的環向應變與泊松比V有關，可以表示為：根據褶皺狀態判斷條件，在褶皺區域幾何環向應變將大于材料應變，即，整理可 得求解上式中r的最大值即為褶皺區域半徑因此確定褶皺區域為頂點附近r<Rwrin的角區域。3.根據權利要求1所述的一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特 征是:步驟(2)中所述的推導出褶皺區域內的褶皺幅值公式，并給出最大褶皺幅值，其方法 是:假設直邊正多邊形結構每個角被切去了一個直角三角形，角拉力T是均勻分布在一條很 小的直邊上，令此直邊長度為n = R/10; 假設徳皺的而外奪形通教w的耒沄形忒為，其中A為褶皺幅值，Rwrin為褶皺區域半徑，r為距離頂點的距離，q為褶皺數，Θ為距中心線 任意一處的角度，α為多邊形內角的一半； 在褶皺區域，即r<Rwrin，引入褶皺引起的環向應變，滿足如下應變兼容方程 ε 0g-￡ θοι+ε 9wrin (11) 假設單條褶皺的半波長為λ，且可表示為將式(6)、（7)代入式(11)，可以得到：最終得到褶皺幅值公式為：根據式(10)可以得到，褶皺的最大幅值位于r = ^|^i,0 = 〇處，此處的半波長為：2 則最大褶皺幅值為：4. 根據權利要求1所述的一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特 征是:步驟(3)中所述的確定褶皺數以及褶皺半波長，其方法是： 褶皺區域面外平衡方程為： σΓκΓ+〇θΚθ = 0 (16) 其中，~和〇(3分別為薄膜結構的徑向應力和環向應力，κ4Ρκθ分別為褶皺的徑向曲率和 環向曲率，通過對式(1 〇)進行二次求導得到：產生褶皺的臨界壓應力表示為：在褶皺區域認為σθ = σ。，將式(17)、（18)代入式(16)中可以推出褶皺數q為： \ '· wf m j/ 將式(19)代入半波長的表達式A = ，得到褶皺半波長為： Η5. 根據權利要求1所述的一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特 征是:步驟(4)中所述的得到正四邊形弧邊結構的應力場假設模型，并將該模型推廣到正多 邊形弧邊結構的具體方法為： 針對正四邊形弧邊結構，連接各個頂點，得到正四邊形弧邊結構的外接直邊正方形，畫 出該直邊正方形的內切圓，則此內切圓與正四邊形弧邊結構的四個弧邊有交點，然后以各 頂點為圓心，內切圓與弧邊的交點到相應頂點的距離為半徑畫弧，將薄膜結構分為兩部分， 一部分為受單向應力的角區域，一部分為受雙向應力的中心區域，得到的模型即為正四邊 形弧邊結構的應力場假設模型； 針對正多邊形弧邊結構，假設正多邊形弧邊結構的邊數為Π ，連接其各頂點，得到正多 邊形弧邊結構的外接直邊正η邊形，畫出該直邊正η邊形的內切圓，則此內切圓與正η邊形弧 邊結構的各邊有交點，然后以各頂點為圓心，內切圓與正多邊形弧邊結構的交點到相應頂 點的距離為半徑畫弧，將薄膜結構分為兩部分，一部分為受單向應力的角區域，一部分為受 雙向應力的中心區域，得到的模型即為正多邊形弧邊結構的應力場假設模型。 此時受單向應力的角區域半徑為V，大小等于直邊正多邊形的內切圓與正多邊形弧邊 結構的弧邊的一個交點G到相應頂點Α的距離。6. 根據權利要求1所述的一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特 征是:步驟(5)的具體方法為： 根據正四邊形弧邊結構的應力分布模型，當外接圓半徑1 一定時，根據式(5)可得其內 接直邊正方形的邊長的一半為，該直邊正方形的內切圓半徑也為R，則四分之一 圓弧方程為，X1多〇，yi>〇;正四邊形弧邊結構的弧邊通所在圓的半徑為',.δ為弧邊拱尚，弧乂g的表達式為 〇 J. 彡y2彡R;交點G(xg，yg)通過求解下面的方程組得到：頂點A的坐標為(RC，R)，因此然后根據式(9)，得到正四邊形弧邊結構在等值角拉力T作用下的褶皺區域半徑為：7. 根據權利要求1所述的一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特 征是:步驟(6)中所述的根據最優弧邊判定準則，得到正四邊形的最優弧邊形狀，的具體方 法為： 隨著正四邊形弧邊結構弧邊拱高S的增大，受單向應力的角區域半徑V逐漸減小，由式 (23)可知褶皺區域半徑也隨之減小，但是δ增大會減小薄膜結構面積，必須找到一個最優的 拱高S，減小褶皺的同時保證無褶皺的有效面積最大； 定義正四邊形弧邊薄膜結構的內切圓區域為有效區域，其半徑為Ru，根據最優弧邊判定 準則:保證此內切圓內無褶皺出現，且其面積不小于85% X3i(Rc)2,則保證了無褶皺有效面 積足夠大，此時的弧邊拱高為最優值，即滿足如下條件：求解式（24)，當無褶皺有效面積取得最大時，弧邊拱高與直邊邊長的比值為δ/? = 3.2%，即為正四邊形的最優弧邊形狀。8. 根據權利要求1所述的一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特 征是:步驟(7)的具體方法為： 當外接圓半徑Rm-定時，根據式(5)得到其內接直邊正多邊形的邊長的一半1?與1的關 系式，因此得到直邊正多邊形的內切圓的半召，則四分之一圓弧方程為 _; ，yi彡〇;正多邊形弧邊結構的弧邊:S所在圓的半徑為Λ ，δ為弧邊拱尚，弧^方的表達式戈 ，(Xy2 、 ) <R;交點G(xg，yg)可以通過求解下面的方程組得到： L η 一 j頂點Α的坐標為(RC，R)，因此) 然后根據式(9)，可以得到正多邊形形弧邊結構在等值角拉力T作用下的褶皺區域半徑 為.9. 根據權利要求1所述的一種空間正多邊形平面薄膜結構的最優弧邊確定方法，其特 征是:步驟(8)中所述的根據最優弧邊判定準則，得到正多邊形的最優弧邊形狀，的具體方 法為： 根據所述最優弧邊判定準則，假設正多邊形弧邊薄膜結構的內切圓半徑為Ru，相應的直 邊正多邊形內切圓半徑為R。，則應滿足：當正多邊形邊數n = 6時，求解式(28)，得到其最優弧邊形狀，此時弧邊拱高與直邊邊長 的比值為S/L = 4.8%。
【文檔編號】G06F17/50GK105868476SQ201610194630
【公開日】2016年8月17日
【申請日】2016年3月30日
【發明人】劉明君, 黃進, 王雅麗
【申請人】西安電子科技大學