基于輔助微分方程的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配層實現算法
【技術領域】
[0001] 本發明涉及數值仿真技術領域，特別涉及一種基于輔助微分方程的一維左手材料 Crank-Nicolson完全匹配層實現算法。
【背景技術】
[0002] 時域有限差分方法(FDTD)作為一種計算電磁方法被廣泛地應用于各種時域的電 磁仿真計算中，如天線、射頻電路、光學器件和半導體等。FDTD具有廣泛的適用性、適合并行 計算、計算程序通用性等特點。
[0003] 然而，隨著科學研究的深入和各種越來越廣泛應用的需求，其算法本身受Courant FriedrichsLewy (CFL)數值穩定性條件的限制的缺陷越來越明顯。算法本身所受數字穩定 性條件限制:在計算過程中時間步長和空間步長必須滿足CFL約束條件，即
[0005] 式中，At為計算時間步長，c為自由空間光速，Δχ、Ay和Δ z為三維空間步長。在 實際計算中，空間離散步長和時間步長相對波長和周期都非常小，所以必然會在計算電大 尺寸目標時出現資源不足的情況，導致FDTD的計算效率很低。因此為了消除CFL條件的限 制，無條件穩定的交替方向隱式(Alternating-Direct ion Impolicit，ADI )FDTD方法、局部 一維（Local One Dimension，LOD)FDTD方法和克蘭克?尼克爾森（Crank_Nicolson，CN) FDTD方法相繼被提出。
[0006] 對于ADI-FDTD算法和LOD-FDTD算法雖然在一定程度上克服了穩定性條件限制，但 算法的計算精度過低，性能并不理想，其原因是由于當時間步長增大后，導致的數值色散增 大，進而導致算法的誤差較大。2004年，G. Sun等人采用Crank-Nicolson差分格式對麥克斯 韋方程進行離散化處理，即CN-FDTD，算法在時間步長取值遠大于穩定性條件(如20倍)仍能 保持良好的穩定精度，展現出更好的適用性，并且CN-FDTD算法是一種更加簡便的無條件穩 定的方法，將前面兩種算法中所需的2個運算過程簡化到1個運算過程，從而大大降低了運 算資源，因此學者們一致認為CN-FDTD具有更廣闊的發展前景。
[0007] 由于計算機內存空間的限制，數值計算只能在有限的區域內進行，為了能模擬開 放或者半開放區域的電磁輻射和散射等問題，在計算區域的截斷邊界處必須設置吸收邊界 條件，以便用有限的網格空間模擬開放的無限空間，來解決任意介質內的電磁波傳播以及 各種電磁問題。由Berenger提出的完全匹配層（PerfectIy Matched Layer，PML)是目前應 用較廣的吸收邊界條件，PML可以理解為：通過在FDTD區域截斷邊界處設置一種特殊介質 層，該層介質的波阻抗與相鄰介質波阻抗完全匹配，從而使入射波無反射地穿過分界面而 進入PML層，PML層是有耗介質，最后將電磁波吸收。目前常用的PML吸收邊界主要有拉伸坐 標變換完全匹配層(SC-PML)和單軸各項異性完全匹配層(UPML)。
[0008] 左手材料是指介電常數ε和磁導率μ同時為負的介質材料，也常被稱為雙負介質。 由于左手材料具有負的折射率，必然存在色散與吸收，因此，在利用roTD仿真分析左手材料 時，為避免上述提到的數值發散現象，一種基于等離子體概念，能對左手材料的介電常數ε 及磁導率μ進行間接設置。
【發明內容】
[0009]本發明的目的是針對FDTD算法受到CFL穩定性條件限制的缺陷，提高截斷一維左 手材料的PML算法的計算效率和吸收效率而提出的基于輔助微分方程變換方法和CN-FDTD 的SC-PML算法。該算法可以消除變換過程中出現的二階微分方程，減少計算量。
[0010]基于輔助微分方程的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配層實現算法，包括下 列步驟：
[0011]步驟1:將頻域中麥克斯韋方程修正為帶有拉伸坐標算子的麥克斯韋方程，并在直 角坐標系中表示；
[0012]步驟2:根據頻域和時域的映射變換關系，將直角坐標系中的一維麥克斯韋方程變 換到時域表示，利用改進的輔助微分方程方法，消除拉伸變量中的二階微分，將拉伸坐標變 量由頻域變換到時域，同時設置輔助變量；
[0013]步驟3:基于Crank-Nicolson時域有限差分算法的時域展開形式，將時域形式的直 角坐標系中一維麥克斯韋方程展開成時域有限差分的形式，同時也將輔助變量變換為時域 有限差分的形式；
[0014] 步驟4:將時域有限差分形式的方程整理成求解的形式，結果產生一組電場和磁場 耦合隱式方程，將這組隱式方程去耦，整理得到左邊為三對角矩陣形式的系數電場顯式迭 代方程；
[0015] 步驟5:利用迭代法求解系數為三對角矩陣的電場迭代方程，得到電場分量的值， 將求解出的電場值代入到磁場的迭代方程中，求解出磁場分量的值，將求解出的電場值和 磁場值代入到輔助變量的迭代方程中，求解出輔助變量的值；
[0016] 步驟6:循環步驟4、步驟5，在時間上迭代求解。
[0017] 采用輔助微分方程的方法可以消除計算過程中出現的二階微分方程，減小計算的 復雜度，提高計算效率，對FDTD算法有指導意義。
【附圖說明】：
[0018] 圖1是本發明流程框圖；
[0019] 圖2是本發明算法與傳統算法反射系數比較和激勵脈沖頻譜圖。
【具體實施方式】：
[0020] 本發明的主旨是提出一種基于輔助微分方程的一維左手材料Crank-Nicolson完 全匹配層實現算法，利用輔助方程減小計算量，優化計算過程，從而提高電磁場計算速度。
[0021] 下面結合附圖對本發明實施方式作進一步地詳細描述。
[0022] 圖1為本發明流程圖，具體實現步驟如下：
[0023] 步驟1:將頻域中麥克斯韋方程修正為帶有拉伸坐標算子的麥克斯韋方程，并將頻 域中修正后的麥克斯韋方程在直角坐標系中表不，TEM(橫電磁)波在左手材料沿著z方向傳 播可以描述為
[0026]式中，er( ω )是左手材料的相對介電常數，μτ( ω )是左手材料的相對磁導率，Sz是 拉伸坐標變量，可以表示為
[0028]本發明中定義等離子體材料er( ω )與以^ ω )為相同值
[0030]步驟2:根據頻域和時域的映射變換關系，將直角坐標系中的一維麥克斯韋方程變 換到時域表示，使用輔助微分方程，將拉伸坐標變量由頻域變換到時域，同時設置輔助變 量，即將式⑶代入到式(1)和式⑵中，得
[0033]使用輔助微分方程方法，消除出現方程兩端出現的二階微分式，可以得到
[0036]式中，fx和g x為輔助變量。
[0037]步驟3:基于Crank-Ni CO Ison時域有限差分算法的時域展開形式，將時域形式的直 角坐標系中一維麥克斯韋方程展開成時域有限差分形式，同時也將時域輔助變量變換為時 域有限差分的形式，即
[0042]利用CN項將式(9)-(12)離散化，可得離散方程為
[0047]
，為了清楚，Wk[*]為CN方法中的簡寫形式，如
[0049]步驟4:將時域有限差分的形式整理成求解的形式，結果產生一組電場和磁場的耦 合隱式方程
[0052]
這組方程去耦，整理后獲得左邊為三對角矩陣形式的系數電場顯式迭代方程
[0058] 步驟5:將求解出的電場值代入到磁場的迭代方程中，求解出磁場分量，將求解出 的電場和磁場值代入到輔助變量的迭代方程中，求解出輔助變量的值；
[0059 ] 步驟6:循環步驟4、步驟5，在時間上迭代求解；
[0060] 圖2是本發明算法與傳統算法反射系數比較和激勵脈沖頻譜圖，為了驗證所提方 法，對本發明算法進行編程，中心載波頻率取30GHz，計算域兩端PML最大厚度為10元胞，電
，由圖中可以看出，CN-PML的吸收性能并不隨 CNFN的增大而變化，說明該算法具有無條件穩定性，仿真過程所需時間較傳統算法仿真時 間較短。
[0061] 以上所述僅為本發明的較佳實施例，并不限制本發明，凡在本發明的精神和原則 之內，所作的任何修改、等同替換、改進等，均應包含在本發明的保護范圍之內。
【主權項】
1. 基于輔助微分方程的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配層實現算法，包括下列 步驟： 步驟1:將頻域中麥克斯韋方程修正為帶有拉伸坐標算子的麥克斯韋方程，并在直角坐 標系中表示； 步驟2:根據頻域和時域的映射變換關系，將直角坐標系中的一維麥克斯韋方程變換到 時域表示，利用改進的輔助微分方程方法，消除拉伸變量中的二階微分，將拉伸坐標變量由 頻域變換到時域，同時設置輔助變量； 步驟3:基于化ank-Nicolson時域有限差分算法的時域展開形式，將時域形式的直角坐 標系中一維麥克斯韋方程展開成時域有限差分的形式，同時也將輔助變量變換為時域有限 差分的形式； 步驟4:將時域有限差分形式的方程整理成求解的形式，結果產生一組電場和磁場禪合 隱式方程，將運組隱式方程去禪，整理得到左邊為Ξ對角矩陣形式的系數電場顯式迭代方 程； 步驟5:利用迭代法求解系數為Ξ對角矩陣的電場迭代方程，得到電場分量的值，將求 解出的電場值代入到磁場的迭代方程中，求解出磁場分量的值，將求解出的電場值和磁場 值代入到輔助變量的迭代方程中，求解出輔助變量的值； 步驟6:循環步驟4、步驟5，在時間上迭代求解。2. 根據權利1所述的基于輔助微分方程的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配層 實現算法，其特征在于:步驟2，將左手材料修正的拉伸變量設置為(1) 式中，Er( ω )是左手材料的相對介電常數(2) 將拉伸變量變換到時域，同時設置輔助變量fx和gy。3. 根據權利1所述的基于輔助微分方程的一維左手材料化ank-Nicolson完全匹配層實 現算法，其特征在于:步驟3，基于化ank-Nicolson時域有限差分算法的時域展開形式式中是Crank-化col son算法中的簡寫形式4.根據權利1所述的基于輔助微分方程的一維左手材料化ank-Nicolson完全匹配層實 現算法，其特征在于:步驟4，將代入磁場和輔助變量后的電場分量的迭代方程進行整理，整 理后獲得左邊為Ξ對角矩陣形式的系數電場顯式迭代方程
【專利摘要】本發明涉及了一種基于輔助微分方程的一維左手材料Crank-Nicolson完全匹配層實現算法，屬于數值仿真技術領域，該方法的目的是縮短左手材料FDTD計算域，將計算機有限的內存空間仿真成無限空間。本發明的技術特征在于：在將復數拉伸坐標變量由頻域變換到時域的過程中，利用改進的輔助微分方程方法，消除拉伸變量中的二階微分，從而明顯減少引入的輔助變量個數，優化內存；然后利用Crank-Nicolson時域有限差分方法將時域麥克斯韋方程進行離散，推導出電場的顯式迭代方程；最后求解出電磁場分量的值。本發明具有無條件穩定性，提高電磁場計算速度和節約內存的優點。
【IPC分類】G06F17/50
【公開號】CN105550451
【申請號】CN201510960735
【發明人】李建雄, 陳明省, 劉鵬雪, 蔣昊林, 韓曉迪
【申請人】天津工業大學
【公開日】2016年5月4日
【申請日】2015年12月18日