一種基于連續系統仿真驗證的剖分有限元方法
【技術領域】
[0001] 本發明屬于具有終端約束和軌跡約束的軌跡優化領域，涉及一種基于連續系統仿 真驗證的剖分有限元方法。
【背景技術】
[0002] 在目前的空中交通管制模式下，日益增加的空中交通流量和有限的空域資源之間 的矛盾日益突出。因此，自由飛行成為了未來空中交通的必然發展模式。在自由飛行環境 下，用戶可以自主選擇飛行航線、飛行速度和飛行高度，不必被一系列導航臺的航路、航線 所束縛；并且可以根據自己的優化目標如節約燃油、縮短航時、避讓危險天氣或空域阻礙， 來確定飛行路線，從而達到對空域資源的充分利用。自由飛行將帶來空域高容量的優勢，但 同時在自由飛行條件下，同時刻、同空域內出現的飛行器密度將大幅度增加，再加上自由航 線的不確定性，從而導致飛行沖突的可能性大幅度提升。為保證飛行的絕對安全，當預測到 將要發生沖突時，需要設計出避免飛行沖突的最優操作策略，使飛行器按照設定的最優軌 跡飛行，從而擺脫可能出現的飛行沖突。因此，如何設計最優操作策略實現飛行沖突解脫是 影響自由飛行能否實現的一項關鍵技術和先決條件。
[0003] 本發明是對規定時間內的多架飛機間沖突解脫問題進行動態優化研宄，對于每一 架飛機都采用動力學點質模型描述，并且多架飛機的初始位置和終止位置已經固定，每兩 架飛機之間均需要嚴格滿足空中交通系統間隔標準的約束，命題優化目標為飛機消耗總能 量最小。
[0004] 目前，聯立法是求解動態優化問題的主流方法。聯立法將控制變量和狀態變量在 整個優化時域內同時進行離散化處理，將原先的動態優化問題轉變為一個大規模的非線性 規劃（NLP)問題，然后利用非線性規劃求解器求解離散化后的非線性規劃問題。聯立法通 過有限元將這個時域劃分為多個時間段，基于有限元正交配置的聯立法選擇滿足正交多項 式的插值點作為有限元的配置點。在有限元的每個配置點上，微分代數方程是嚴格滿足。聯 立法將微分代數方程組（DAE)系統的解與優化問題結合起來，只需要在最優解處求解一次 DAE方程組即可，這樣便避免了中間過程大量的計算。另外，聯立法可以很方便的處理路徑 約束問題，同時具有很好的穩定性。本發明所采用的非線性規劃求解器是由卡耐基梅隆大 學開發的IPOPT。
[0005] 在采用聯立法求解動態優化命題時，有限元劃分的越密集，所求得的解的精度就 越高，非線性規劃問題的規模就越大，非線性規劃求解器的求解過程就越耗時越困難，因此 僅靠增加有限元的個數來保證解的精度在某些時候是不可行的，尤其是針對復雜的大規模 動態優化問題。更重要的是，目前采用聯立法求解動態優化命題時，只能保證有限元配置點 上滿足約束，不保證非配置點上滿足約束。這一缺陷反映在自由飛行問題中，即表現為該命 題進行優化求解成功得到的飛行軌跡，看似飛機之間均滿足約束，實則在某些有限元的非 配置點上，由于不滿足空中交通系統間隔標準的約束因而發生了沖突，這就導致聯立法的 求解結果不能夠完全讓人放心。本發明針對聯立法求解動態優化命題的這一缺陷，即聯立 法只能夠保證在有限元配置點上滿足約束，不保證在非配置點上滿足約束，提出了一種基 于連續系統仿真驗證的剖分有限元方法，連續系統仿真驗證方法使得有限元非配置點滿足 約束，剖分有限元方法對原有限元序列進行重新配置，能夠得到在盡量少增加有限元個數 的前提下保證求解精度的有限元配置方案，求解結果表明采用這種方法對優化命題求解很 好的滿足了離散化精度和求解精度。
【發明內容】
[0006] 本發明針對目前全聯立離散化動態優化的缺陷，即聯立法只能夠保證在有限元配 置點上滿足約束，不保證在非配置點上滿足約束，提出了一種基于連續系統仿真驗證的剖 分有限元方法，能夠在盡量少增加有限元個數的前提下保證求解精度的有限元配置方案。
[0007] 本發明針對三維空間下的自由飛行沖突解脫問題進行研宄，將飛行沖突解脫問題 表述成最優控制命題，采用聯立法對其進行求解，并以連續系統仿真驗證的碰撞誤差為依 據，采用剖分有限元方法對有限元進行重新配置，以提高求解的精度，在求得控制變量曲線 后，通過積分器進行連續仿真，并與有限元重新配置之前的數值結果進行比較，驗證算法的 有效性。
[0008] 本發明的方法包括以下步驟：
[0009] 步驟（1).對待測飛行沖突時域tf等分為Nfe段，Nfe彡5,得到Nfe個有限元，則 經過等分時域后的有限元序列，
【主權項】
1. 一種基于連續系統仿真驗證的剖分有限元方法，其特征在于該方法包括以下步驟： 步驟（1).對待測飛行沖突時域tf等分為Nfe段，Nfe<5,得到Nfe個有限元，則經過 等分時域后的有限元序列為H
，每個有限元長度為
步驟（2).采用有限元正交配置方法對步驟（1)中的有限元序列進行配置，每個有限元 中有3個Radau配置點，每兩個配置點之間的點均為非配置點，具體是： 將三維空間下的自由飛行沖突解脫問題表述成命題，動態優化命題的一般形式為：min<}>(z(tf))
其中是巾目標函數，z〇:>ei?+~是微分變量，：^幻￡11+~是代數變量，u(t)ei?+?:是控 制變量，pel?%是模型參數，1、1^111)分別是微分變量、代數變量、控制變量、模型參數的 個數，Z(l是微分變量的初始狀態。f表示微分方程，gB表示代數方程，微分代數方程組中微 分變量、代數變量和控制變量的邊界約束歸結到^中； 有限元正交配置方法通過有限元上的正交多項式逼近控制變量和狀態變量，定義有限 元個數為Nfe，那么tQ<tiO.CtNfe=tf，比=t廠1:卜1;每個有限元hi上通過Lagrange 插值多項式對微分變量、控制變量和代數變量進行逼近：
其中，K為插值的階次，L(t)和
1分別表示微分變量和控制變量，代數 變量的Lagrange插值多項式，可以用如下形式表示：
Lagrange多項式插值具有如下性質：
即各個變量在配置點上的值正好等于其系數，那么 =Zi,j,yU^j) = yijJ,uU^j) (5)； 由于微分變量需要保持狀態的連續性，所以在有限元端點上需要通過連接方程來保證 微分變量的連續性，而代數變量和控制變量則可以不連續；此外，還必須加上初始和終端條 件：
將公式（2)和（4)代入（1)并結合連接條件方程（6)，可以得到離散化后NLP問題形式 如下：
步驟（3).對步驟2得到的離散化后的NLP問題進行求解，得到最優飛行軌跡方案： 采用如下的動力學模型進行描述每一架飛行器：
i= 1. ? ? ?N 其中，（Xi(t)，yi(t)，Zi⑴）為第i架飛機在t時刻的位置坐標，單位為m;
為第i架飛行器在t時刻的速度，單位為m/s，且％^ %、是操縱飛行器的控制變量； 根據ATC標準的飛行安全邊界條件可知，任意兩架飛行器在同一高度時兩者的水平距 離不小于R(R= 5nmi)或兩者的垂直距離Hu不小于H(H= 1000ft)，可以采用如下的 析取表達式進行描述：
其中，氏」為第i架飛行器和第j架飛行器之間的水平距離，單位為m; 氏』為第i架飛機和第j架飛行器之間的垂直距離，單位為m; 假定需在tgljtf這段時間內完成沖突解脫的過程，各架飛行器的初始狀態和終止狀態 為：
其中，々知力斗而而為第i架飛行器的初始位置坐標，單位為m; XU|>'yi，' 2f,f廣為第i架飛行器的終止位置坐標，單位為m; h為開始進行沖突解脫的時刻，單位為s; 、為結束沖突解脫的時刻，單位為s,且t15min; 本方法將飛行沖突解脫過程中的能量消耗作為性能指標，即目標函數J見公式（11):
其中n為懲罰因子，由于在垂直方向上的速度改變會引起機載人員的不適，因此采用n對Z方向上的速度變化進行懲罰；Vi為各架飛機的權重系數； 綜上所述，以N架飛機的速度分量vxi，vyi，vzi為控制變量，將N架飛機的飛行沖突解脫 問題表述為如下形式的最優控制命題：
針對式⑵中的析取關系式:(％之:R)V(1%之H>，將通過引入輔助變量入U1和入iJ2 將其轉化為如下形式：
同時在最優控制命題的目標函數中引入關于和Am的二次項：
故最優控制命題變為如下形式：
由公式⑶中的目標函數I'對應的飛機速度分量vxi，vyi，vzi構成了最優飛行軌跡方 案，同時也為步驟（3)進行連續系統仿真驗證提供了控制變量； 步驟（4).對步驟（2)得到的有限元非配置點進行連續系統仿真驗證，得到非配置點的 飛行軌跡方案： 步驟（5).根據步驟（4)中找到的發生沖突的非配置點tn。。，在該非配置點采用剖分有 限元方法，得到一個新的有限元序列，返回執行步驟（2)。
2.如權利要求1所述的一種基于連續系統仿真驗證的剖分有限元方法，其特征在于步 驟（4)具體操作如下： 4. 1:根據步驟（3)優化求解得到的控制變量vxi，vyi，vzi，采用Matlab將該控制變量作 用施加于連續系統中進行仿真驗證，能夠得到狀態變量XpypZi在有限元非配置點上的值， 即有限元非配置點的飛行軌跡方案； 4. 2 :針對步驟（4. 1)得到的有限元非配置點的飛行軌跡方案，在每個非配置點上，對 每兩架飛機根據飛機之間的安全邊界條件判斷在整個飛行過程中是否發生沖突，見公式 16;若發生沖突，則找到此沖突對應的非配置點，執行步驟（5);若沒有發生沖突，則命題優 化求解成功，即得到了最優飛行軌跡方案； 所述的飛行過程中兩架飛機發生沖突，則需要滿足公式（9)即水平距離1小于R且垂直距離'小于h:
其中，Xi (tn。。)，yi(tn。。)，Zi (tn。。）表示第i架飛機在tn。。時刻的位置坐標，tn。。即為有限 元的非配置點。
3. 如權利要求2所述的一種基于連續系統仿真驗證的剖分有限元方法，其特征在于步 驟（4. 1)采用matlab中的ode45()函數對連續系統進行仿真驗證。
4. 如權利要求2所述的一種基于連續系統仿真驗證的剖分有限元方法，其特征在于步 驟（5)所述的剖分有限元是對該非配置點對應的有限元進行剖分，然后得到新的有限元序 列，具體操作是假設目前有Nfe個有限元，有限元序列為
，根據連續系統 仿真驗證得到的發生沖突的非配置點是tn。。，該點對應第M個有限元。因此，經過剖分有限 元方法得到的新的有限元序列為：
【專利摘要】本發明公開一種基于連續系統仿真驗證的剖分有限元方法。該方法針對目前聯立法求解動態優化命題的缺陷，即只保證在有限元配置點上滿足約束，不保證在非配置點上滿足約束，提出了一種基于連續系統仿真驗證的剖分有限元方法。該方法采用連續系統仿真驗證方法使得有限元非配置點滿足約束，采用剖分有限元方法對原有限元序列進行重新配置，能夠得到在盡量少增加有限元個數的前提下保證求解精度的有限元配置方案。本發明針對三維空間下的自由飛行沖突解脫問題采用該方法進行求解，求解結果表明，與原聯立法相比，采用這種方法更好的滿足了離散化精度和求解精度。
【IPC分類】G06F17-50
【公開號】CN104573236
【申請號】CN201510008843
【發明人】顏豐琳, 陳偉鋒, 邵之江
【申請人】浙江大學
【公開日】2015年4月29日
【申請日】2015年1月8日