一種應用于電子雙板的中學立體幾何智能教學系統的制作方法

本發明涉及教育信息化技術領域和數學機械化領域，具體的說是一種應用于電子雙板的中學立體幾何智能教學系統。

背景技術：

電子雙板包括有顯示教師計算機中內容的電子白板和投影儀，其中電子白板和投影儀成對使用，以實現雙畫面呈現教學內容，兩個電子白板的大小相同，左右并排放置；隨著教育信息化的深入，電子雙板以其交互性好、便于開展互動教學等優勢，逐漸取代“PPT+投影儀”的多媒體教學設備，必將在教室中得到越來越多的應用。

立體幾何一直是中學幾何教學的重點和難點。然而，在傳統“黑板徒手作圖”的立體幾何教學過程中，教師的大部分時間被迫從事大量的低水平、重復性的手工繪圖、板書工作，教學效率較低；另一方面，對于正處于中小學的大多數學生而言，他們的空間想象能力尚處于培養階段，還不能夠全面完整地想象出復雜的空間幾何關系；此外，由于黑板框架環境的限定，徒手繪制的空間圖形往往不易保存，難于定位并缺乏動態變化的能力，其特有的空間立體感常常無法得到充分呈現，這些都給學生理解立體幾何知識帶來了很大困難。

隨著教育信息化進程的推進，國內針對數學學科開發的動態幾何教育系統日益增多，它們在功能上涵蓋中學數學知識中的部分或大部分內容，能在一定程度上減輕教師的機械性、重復性勞動，對學生理解抽象的數學概念、發現豐富多彩的數學世界也起到了引導和輔助作用。但是，由于開發難度較大，目前國內還沒有專門針對立體幾何的動態幾何教學系統，僅有的幾款涉及立體幾何 的教育系統也都是類似于CAD的作圖軟件，缺少智能交互作圖、動畫、軌跡、跟蹤、測量等動態幾何功能和自動推理相關功能，因而不能將晦澀的立體幾何理論和隱藏在圖形背后的關系動態呈現，影響了教師的教學效果與學生學習興趣的提高。

技術實現要素：

本發明的目的就是為了克服上述問題，提供一種利用教育信息化技術和數學機械化的相關研究成果與數學學科相結合而設計開發的一種應用于電子雙板的中學立體幾何智能教學系統。本發明能夠將一個相對獨立的教學系統融合到電子雙板課堂教學之中，針對當前我國中學幾何教育現狀，致力于解決中學立體幾何教學中的難、繁、呆等問題，旨在減輕教師機械化的勞動的同時，幫助學生培養空間想象力，加深對立體幾何知識的理解與運用。

一種應用于電子雙板的中學立體幾何智能教學系統，包含以下三層結構：

底層，由學科知識庫、幾何信息數據表示、素材庫三個模塊組成，提供給中間層使用；

中間層，由幾何信息庫與動態幾何、課件制作工具、自動推理三個模塊組成，用以聯系底層與應用層；針對具體的應用完成對底層模塊的封裝，為應用層提供各個系統所需的基本功能；

應用層，由問題生成與求解單元、交互式作圖單元、課件制作與演示三個單元組成，用于處理用戶的輸入和終端輸出以實現人機交互。

本發明系統中各層之間采用自底向上、底層向頂層提供服務的方式進行層間信息的傳遞，層內部各模塊之間則依據模塊間關系彼此關聯起來。其中，幾何信息數據結構表示模塊以學科知識庫所提供的幾何知識為基礎，構造了空間 幾何對象的幾何信息的表示方法，構成了系統的數據表示基礎。依據底層幾何信息數據結構表示模塊提供的數據表示方法，幾何信息庫與動態幾何模塊一方面記錄所有幾何對象幾何信息形成數據倉庫，為上層應用及自動推理模塊提供了數據基礎；另外，采用計算機圖形學、空間計算幾何等技術提供用于交互式作圖、課件制作與演示單元的實現接口。自動推理模塊依據學科知識庫中的推理規則以及幾何信息庫提供的幾何信息完成自動推理，問題生成與求解系統在該模塊基礎之上，實現了幾何問題的生成以及自動求解，構成了系統的重要內容。

在上述技術方案中，所述學科知識庫模塊是使用謂詞邏輯表示的中學立體幾何中的基本知識庫，包括概念、事實、定理和公理，它們構成推理規則，作為推理基礎供中間層自動推理模塊使用。

在上述技術方案中，所述幾何信息數據表示模塊采用多級權限鏈表的數據結構對幾何圖元的類別、位置、大小以及圖元之間的關系等幾何信息進行數據表示；其具體表示方法為

(1)設計一條參數鏈表來保存一個頁面中的所有參數，設計另一條幾何元素權限鏈表來保存所有的幾何元素，在頁面每次更新時按先后順序同步更新參數列表和元素列表；

(2)按維數大小依次賦予幾何體元素權限值，其中點元素權限值為1；線型元素權限值為2；面型元素權限值為3；體型元素權限值為4；然后為每種權限的幾何元素構造一條鏈表，并依據權限高低組合四條鏈表為一條權限按低到高排列的權限鏈表；

(3)當有新的幾何元素需要添加進去或者有幾何元素需要刪除的時候，只需知道該幾何元素所屬的類型，然后迅速定位到權限鏈表中的位置，再進行 插入或者刪除操作即可；

(4)在權限鏈表搜索幾何元素時，鏈表采用如下搜索機制，搜索從表頭開始，如果在低權限的幾何元素中子鏈表中搜索到，就不繼續搜索高權限的幾何元素了，如果搜索不到就按鏈表的順序搜索權限高一級的幾何元素，如果在同一權限的子鏈表中搜索到多個元素，則按照元素離眼睛位置的遠近進行排序，選取離眼睛最近的一個。

在上述技術方案中，所述素材庫模塊用于存儲圖片、文本、動畫和視音頻等多媒體文件，向課件工具及課件制作與演示系統提供基礎素材。

在上述技術方案中，所述幾何信息庫與動態幾何模塊分為幾何信息庫和動態幾何兩部分；幾何信息庫類似于信息倉庫，采用鏈表線性存儲當前工程內繪制完畢的所有圖形的相應幾何信息，構成了系統的數據基礎；動態幾何部分依據參數化的三維動態幾何數學模型和“可編程點”法，利用計算機圖形、空間計算幾何技術實現幾何信息庫模塊中幾何信息的渲染呈現以及用戶與幾何信息之間的操作互動，并為交互式作圖系統提供交互操作接口，實現幾何信息所對應對象的移動跟蹤軌跡等靜態或動態的操作。其中主要采用計算機圖形、空間計算幾何中的OpenGL渲染技術實現三維空間圖像的渲染與呈現，采用“可編程點”法賦予幾何體動態幾何特性，其具體步驟為a.選定參數T構造參數方程，分別表示三維空間點的X、Y、Z軸對應坐標；b.構造變量V關聯參數T，與之對應；c.用戶依據需要改變變量V實現點的動態變化，如跟蹤，軌跡等。

在上述技術方案中，所述自動推理模塊使用基于前推法的推理原理，推理模塊包含輸入系統、推理信息初始化、自動推理引擎，推理結論四個部分，在初始化階段，把當前場景中的幾何信息以及用戶添加的參數、條件信息放入幾何信息庫并轉化為內部推理信息，然后將推理規則反復作用于已知信息庫，每 次生成的信息都放入幾何信息庫，直到不再生成新信息或者得到結論為止，其主要流程如下，

(1)從用戶交互式作圖及添加的附加參數條件中獲取幾何信息；

(2)將幾何信息轉化為內部推理信息；

(3)使用學科知識庫中推理規則n對內部推理信息進行推理，n的初始值為0；

(4)若推理規則產生新的幾何信息，轉至步驟(7)；

(5)若n＜＝最大規則數目，則規則序號n加1，轉至步驟(3)；

(6)若到達不動點，則轉至步驟(10)；若未到達不動點，重置規則序號n為0，轉至步驟(3)；

(7)若新的幾何信息在信息庫中不存在，則將其存入信息庫；反之，轉至步驟(5)；

(8)如果新信息中包含結論，生成解答信息鏈表；反之轉步驟(5)；

(9)將內部推理信息轉化為外部信息，輸出可讀證明；

(10)結束。

在上述技術方案中，所述課件制作工具模塊采用多頁面管理，單個課件由許多運算獨立的頁面按順序排列組成。

在上述技術方案中，所述交互式作圖單元，用于實現用戶與幾何圖元的交互性操作。

在上述技術方案中，所述問題生成與求解單元，用于支持用戶依據交互式作圖系統，或者添加額外參數、條件，提出結論猜想或目標要求以構成求解問題，并對該問題使用自動推理進行求解。

在上述技術方案中，所述課件制作與演示單元，用于輔助教師利用交互式 作圖方法及課件工具制作或演示課件。

本發明采用教育信息化技術和數學機械化的相關研究成果于數學學科相結合的方式，具體采用動態幾何、自動推理、計算機圖形學、空間計算幾何等技術，緊密結合中學立體幾何教學相關知識，構建了面向中學幾何尤其是立體幾何的智能教育系統。

通過這種技術手段，教師在使用本系統進行教學的過程中，可根據教學需求使用交互式作圖系統繪制從簡單到復雜的、具有動態幾何特性的立體幾何圖形，可以很方便地觀察和操縱立體圖形，對圖形實施動態幾何、變換及測量，能夠結合課件工具制作或演示用于幾何教學的課件，通過問題生成與求解系統構建幾何問題并自動推導求解，輔助教師教學；通過教師、系統、學生間的互動，學生能深刻地體會在動中學、變中思的學習樂趣，提高對立體幾何的學習興趣和探索能力，進而為他們深層次理解三維空間立體幾何知識提供幫助。

本發明對比現有技術和傳統教育系統具有以下優點：

1.可集成到電子雙板課堂教學平臺之上，利用電子雙板課堂教學平臺的優勢，開展動態案例演示、交互式繪圖、互動教學等教學活動；

2.結合數學學科具體知識，利用教育信息化技術構建了三維空間立體幾何智能教育系統的概念，解決了中學立體幾何教學難、繁、呆等問題，填補了我國教育信息化在立體幾何教學領域的空白；

3.利用動態幾何技術，使幾何對象不僅具有很強的空間立體感，而且具備優良的動態幾何特性，實現了三維空間的交互式作圖、變換、測量、動態幾何等運算，立體幾何教學變得更加形象、直觀；

4.提出“可編程點”的概念與方法，成功地將參數化與動態幾何緊密聯接，數學學科“數形結合”的思想得到了充分體現；

5.以三維空間動態幾何的需求為出發點，采用嶄新的權限多級鏈表數據結構替代傳統平面動態幾何系統復雜的父子關系樹結構，數據模型簡單、實用，大大降低了空間幾何體運算的計算復雜度；

6.綜合動態幾何及自動推理技術構建出問題生成和求解系統，進一步擴展了系統的智能性，真正實現了利用計算機代替人進行重復性機械性的數學勞動的目標。

附圖說明

圖1為本發明實施例一種應用于電子雙板的中學立體幾何智能教學系統的框架示意圖。

圖2為本發明實施例中采用的權限多級鏈表數據結構示意圖。

圖3為本發明實施例中的自動推理模塊程序流程圖。

具體實施方式

下面結合附圖和實施例對本發明作進一步的描述。

如圖1所示，是本實施例一種應用于電子雙板的中學立體幾何智能教學系統，包括以下三層架構：

底層，包括學科知識庫、幾何信息數據表示以及素材庫三個模塊，它們作為底層基礎分別為中間層各個模塊使用，構成了系統的基礎。

中間層，包括幾何信息庫與動態幾何、課件制作工具和自動推理等功能模塊，它們針對具體的應用完成對底層模塊的封裝，為應用層提供各個系統所需的基本功能，是聯系底層與應用層的橋梁。

應用層，包括問題生成與求解系統、交互式作圖系統和課件制作與演示系 統，主要用于處理用戶的輸入和終端輸出以實現人機交互，是中間層基本功能在具體應用中的系統化實現。

以下依次對上述三層中的各個模塊進行具體說明。

學科知識庫模塊：此模塊使用謂詞邏輯表示的中學立體幾何中的基本知識庫，包括概念、事實、定理和公理，它們構成推理規則，作為推理基礎供中間層自動推理模塊使用。

幾何信息數據結構表示模塊：圖元幾何信息的數據結構表示是本發明系統的基礎，它主要包括幾何圖元的類別、位置、大小以及圖元之間的關系等信息，采用怎樣的數據結構進行存儲直接決定了動態幾何和自動推理模塊的功能和效率。本發明采用一種嶄新的權限多級鏈表數據結構，通過參數化和列表的實時更新解決了幾何元素關系依賴性的問題，并通過對幾何體元素的權限化為幾何體的拾取操作提供了便利。如圖3所示，其具體實現方法為

(1)設計一條參數鏈表來保存一個頁面中的所有參數，設計另一條幾何元素權限鏈表來保存所有的幾何元素，在頁面每次更新時按先后順序同步更新參數列表和元素列表，從而解決幾何元素關系依賴性的問題；

(2)按維數大小依次賦予幾何體元素權限值，其中：點元素(自由點、交點、幾何對象上點等)權限值為1；線型元素(直線，射線，二次曲線等)權限值為2；面型元素(多邊形，平面等)權限值為3；體型元素(多面體等)權限值為4；然后為每種權限的幾何元素構造一條鏈表，并依據權限高低組合四條鏈表為一條權限按低到高排列的權限鏈表；

(3)當有新的幾何元素需要添加進去或者有幾何元素需要刪除的時候，只需知道該幾何元素所屬的類型，然后通過“哨兵”迅速定位到權限鏈表中的位置，然后進行插入或者刪除操作即可；

(4)在權限鏈表搜索幾何元素時，鏈表采用如下搜索機制：搜索從表頭開始，如果在低權限的幾何元素中子鏈表中搜索到，就不繼續搜索高權限的幾何元素了，如果搜索不到就按鏈表的順序搜索權限高一級的幾何元素。如果在同一權限的子鏈表中搜索到多個元素，則按照元素離眼睛位置的遠近進行排序，選取離眼睛最近的一個。

在動態幾何中，“動”與“幾何體間關系不變”的概念構成了其核心內容，同一個頁面的幾何體之間具有著復雜的關聯關系，在保持關系不變的情形下，移動一個點往往能帶動場景中多個與之存在聯系的其他幾何對象的動態變化。當頁面對象發生動態變化時，使用權限鏈表的實時更新機制只需要更新一次鏈表，相比于傳統系統采用父子關系樹的復雜結構，省去了建立關系樹和更新時的查找相關幾何元素的時間，最大化地發揮了效用。

采用權限多級鏈表數據結構的數據模型，不僅能保持動態過程中幾何元素關系的不變性，而且在幾何體的拾取操作中，也為用戶提供了極大的便利。例如，創建一個球體，一條線段和線段上一點，用球體遮擋住線段使得點在球體內，現在需要對該點進行拾取。采用光線跟蹤算法進行拾取操作，一般的思路將作三次光線相交算法，其分別為光線和球體相交，光線和線段相交，光線和點相交；而利用權限鏈表的權限搜索特性，實際上只用作一次光線相交算法就可以拾取到線段上的點了，大大地簡化了拾取過程中的計算量。

素材庫模塊：用于存儲圖片、文本、動畫和視音頻等多媒體文件，向課件工具及課件制作與演示系統提供基礎素材。

幾何信息庫與動態幾何模塊：所述幾何信息庫與動態幾何模塊分為幾何信息庫和動態幾何部分，其中幾何信息庫采用鏈表線性存儲當前工程內繪制完畢的所有圖形的相應幾何信息，構成了系統的數據基礎；動態幾何部分依據參數 化的三維動態幾何數學模型和“可編程點”法，利用計算機圖形、空間計算幾何技術實現幾何信息庫中幾何信息的渲染呈現以及用戶與幾何信息之間的操作互動，并為交互式作圖系統提供交互操作接口，實現幾何信息所對應對象的靜態或動態的操作；其中主要采用計算機圖形、空間計算幾何中的OpenGL渲染技術實現三維空間圖像的渲染與呈現，采用“可編程點”法賦予幾何體動態幾何特性，其具體步驟為a.選定參數T構造參數方程，分別表示三維空間點的X、Y、Z軸對應坐標；b.構造變量V關聯參數T，與之對應；c.用戶依據需要改變變量V實現點的動態變化。

例如，如果用戶對一個自由點T的坐標進行編程，設T的X軸坐標為：4*sin(3*V)*cos(V)，Y軸的坐標為：0，Z軸的坐標為：4*sin(3*V)*sin(V)，其中V為變量。那么現在跟蹤T讓變量V在范圍(-10 10)內運動起來，便可得到一個類似于花瓣的圖案。基于“可編程點”方法，利用此動態幾何技術，可以對幾何圖形作變換、測量、軌跡、跟蹤以及代數表達式的測量等一系列操作。

自動推理模塊：自動推理模塊是系統的重要功能，它可以在當前幾何信息庫的基礎上，推理出大量新信息。本系統使用基于前推法的推理原理，推理模塊包含輸入系統、推理信息初始化、自動推理引擎，推理結論四個部分。在初始化階段，把當前場景中的幾何信息以及用戶添加的參數、條件信息放入幾何信息庫并轉化為內部推理信息，然后將推理規則反復作用于已知信息庫，每次生成的信息都放入幾何信息庫，直到不再生成新信息或者得到結論為止。其工作機制如圖3所示，主要流程如下：

步驟S1，從用戶交互式作圖及添加的附加參數條件中獲取幾何信息；

步驟S2，將幾何信息轉化為內部推理信息；

步驟S3，使用推理規則n對內部推理信息進行推理，n的初始值為0；

步驟S4，若推理規則產生新的幾何信息，轉至步驟S7；

步驟S5，若n＜＝最大規則數目，則規則序號n加1，轉至步驟S3；

步驟S6，若到達不動點，則轉至步驟S10；若未到達不動點，重置規則序號為0，轉至步驟S3；

步驟S7，若新的幾何信息在信息庫中不存在，則將其存入信息庫；反之，轉至步驟S5；

步驟S8，如果新信息中包含結論，生成解答信息鏈表；反之轉步驟S5；

步驟S9，將內部推理信息轉化為外部信息，輸出可讀證明；

步驟S10，結束。

通過這種智能處理機制，自動推理模塊構成了問題生成與求解單元的基礎與核心，為系統增添了新穎、實用的智能性。

課件制作工具模塊：為了便于教師制作、演示課件，提高教學效率，系統提供用于制作面向立體幾何教學的課件制作工具。為了減少因場景對象數目眾多而造成的內存消耗，提出多頁面管理概念：單個課件由許多運算獨立的頁面按順序排列組成，因此，可以將場景中的幾何對象分配到各個頁面中，使它們分布于獨立的內存塊中，從而實現課件的可用性，并且最大限度地減小了內存的消耗。通過設計按鈕，用于管理課件序列的播放狀態，通過設計頁面管理器，管理組成課件的頁面資源，比如圖片、文本、視音頻等。

交互式作圖單元：用于實現用戶與幾何圖元的交互性操作，通過菜單項、工具條，鼠標點擊、移動以及鍵盤輸入等操作，用戶可以非常便捷地繪制出具有動態幾何特性的三維空間幾何圖形，完成圖形屬性設置和幾何體變換、測量等交互性操作。所述交互式作圖單元支持幾何作圖和關系作圖等多種作圖方 式，能夠繪制點線面、二次曲線(面)、多邊形、多面體等幾何圖元，能運用關系繪制垂線、平行線、中點、交點、平行面等關系圖形。

所述交互式作圖單元支持幾何對象的動態幾何包括動畫、變量、軌跡、跟蹤，測量包括角度、距離、長度、面積、體積，變量值、方程值，和變換包括平移、旋轉、放縮、對稱。

交互式作圖單元不僅為用戶提供了動態作圖、圖形變換、軌跡、跟蹤等多項能充分表現立體幾何空間感的重要策略，還具備動態測量、智能畫筆繪圖、關系作圖、代數運算、文本輸入等重要手段，進一步提升了人機交互的便利性。

問題生成與求解單元：用于支持用戶依據交互式作圖系統，或者添加額外參數、條件，提出結論猜想或目標要求以構成求解問題，并對該問題使用自動推理模塊進行求解，求解過程以文本可讀形式輸出到用戶終端。

問題生成與求解單元是以一個立體幾何自動推理引擎為基礎構建的智能求解證明應用系統。當用戶通過交互式作圖，添加附加條件、參數輸入推理初始條件后，可以提出結論猜想或目標要求以構成求解問題。求解系統可以對問題使用自動推理進行求解，或者在用戶采取交互式輔助證明方式進行命題單步推理的過程中，給出系統提示和幫助，為使計算機替代人進行重復性的數學運算提供了極大的便利。

在使用問題生成與求解單元進行機器證明過程中，當用戶點擊“推理”按鈕時，自動推理模塊根據已有的規則庫利用前推法推導出新的知識，當到達推理不動點時，自動推理模塊停止繼續推理，然后將推導出來的幾何信息分類存儲到幾何信息庫中去。用戶可以根據自己的需要選擇幾何信息庫中推導出來的幾何信息，然后點擊鼠標右鍵這時會彈出一個窗口將這條信息是如何證明出來的步驟列出來。另外，用戶也可以先點擊“推理信息設置”按鈕，然后點擊“結 論”按鈕，通過手工輸入頂點序號的方法來設置待證明的結論，最后點擊“證明”進行幾何命題的證明。例如：作一個空間四面體A，B，C，D，然后分別作邊的中點E，F，G，H，順次連接點E，F，G，H成一個四邊形，現在要證明E，F，G，H為平行四邊形。可以先點擊“推理”，然后在幾何性息庫里面找到平行信息，可以看到里面有一組平行四邊形G，F，E，H，點擊右鍵可以生成證明步驟；當然，也可以先點擊“推理信息設置”按鈕，通過點擊“結論”按鈕，選擇其中的平行四邊形選擇項，然后依次輸入E，F，G，H四個頂點的序號，再點擊“證明”按鈕，亦可生成E，F，G，H為平行四邊形的證明步驟。

課件制作與演示單元：用于輔助教師利用交互式作圖方法及課件工具制作或演示課件，完成幾何教學的備課與授課。一個課件是由一系列相對獨立的頁面組合而成的，每個頁面記載著多個按鈕，它們分別對應頁面中的特定對象。用戶可通過點擊按鈕來控制頁面中對象的運動、顯示或隱藏。為了制作一份完整的課件，可在同一操作工程下里創建若干頁面，每頁有一個主按鈕，它控制一串狀態，每個狀態又由若干個動作組成。在演示課件時，可讓其周而復始地自動演示，其中每個狀態所占用的時間是預先隨意設定的。亦可以用翻頁鍵手控演示，或直接控制按鈕。在演示過程中，可以隨時停止演示，在畫面上進行即興的操作或修改課件的內容，或根據聽眾的反應作出及時的說明或圖示。用戶在使用系統進行課件演示時，可以使用系統提供的高質量的課件資源進行輔助教學，也可以自己設計制作符合教學需求的課件，為備課、授課提供支持與幫助。