一種截斷一維Debye介質Crank-Nicolson完全匹配層實現算法
【專利摘要】本發明提出了一種截斷一維Debye介質Crank-Nicolson完全匹配層實現算法,屬于數值仿真【技術領域】,該方法的目的是用完全匹配層截斷Debye色散介質,將計算機有限的內存空間仿真成無限空間來仿真Debye色散介質中的電磁波的傳播特性。本發明的技術特征是:通過利用雙線性變換方法將復數拉伸坐標變量由頻域變換到z域,然后利用Crank-Nicolson時域有限差分方法將麥克斯韋方程在時域進行離散,推導出電場的顯式迭代方程,最后求解出電磁場分量的值。本發明具有無條件穩定性,提高電磁場計算速度和節約內存的優點。
【專利說明】-種截斷一維Debye介質Crank-N i co I son完全匹配層實現 算法
【技術領域】
[0001 ] 本發明涉及數值仿真【技術領域】,特別涉及一種截斷一維Debye介質 Crank-Nicolson完全匹配層實現算法。
【背景技術】
[0002] 時域有限差分方法(FDTD)是求解麥克斯韋微分方程的直接時域方法,是電磁場 數值計算方法中應用最廣泛的計算方法之一。
[0003] 然而,隨著科學研究的深入和各種越來越廣泛應用的需求,其算法本身受Courant Friedrichs Lewy(CFL)數值穩定性條件的限制的缺陷越來越凸顯出來,在實際的應用中, 所選取的時間步長是很短的,意味著在數值求解電磁場問題的時候,計算時間猛增,而且會 使誤差積累。為了克服這個缺點,一些計算數學中的方法被引入到計算電磁學中,無條件 穩定的交替方向隱式(Alternating-Direction Implicit, ADI)FDTD方法、局部一維方法 (Local One Dimensional method,LOD)FDTD 方法和克蘭克?尼克爾森(Crank-Nicolson, CN) FDTD方法相繼被提出。這些方法都很好的消除了 CFL數值穩定性條件的限制,從而時間 步長的選擇可以成倍地增加,計算時間也成倍的下降。
[0004] 對于ADI-FDTD算法和LOD-FDTD算法,雖然在一定程度上克服了穩定性條件限制, 但算法的計算精度過低,性能并不理想,其原因是由于當時間步長增大后,導致的數值色散 增大,進而導致算法的誤差較大。2004年,G. Sun等人采用Crank-Nicolson差分格式對麥 克斯韋方程進行離散化處理,即CN-FDTD,算法在時間步長取值遠大于穩定性條件(如20 倍)仍能保持良好的穩定精度,展現出更好的適用性,并且CN-FDTD算法是一種更加簡便的 無條件穩定的方法,將前面兩種算法中所需的2個運算過程簡化到1個運算過程,從而大大 降低了運算資源,因此學者們一致認為CN-FDTD具有更廣闊的發展前景。
[0005] 由于計算機內存空間的限制,數值計算只能在有限的區域內進行,為了能模擬開 放或者半開放區域的電磁輻射和散射等問題,在計算區域的截斷邊界處必須設置吸收邊界 條件,以便用有限的網格空間模擬開放的無限空間來解決任意介質內的電磁波傳播以及各 種電磁問題。由Berenger提出的完全匹配層(Perfectly Matched Layer, PML)是目前應 用較廣的吸收邊界條件,PML可以理解為:通過在FDTD區域截斷邊界處設置一種特殊介質 層,該層介質的波阻抗與相鄰介質波阻抗完全匹配,從而使入射波無反射地穿過分界面而 進入PML層,PML層是有耗介質,最后將電磁波吸收。目前常用的PML吸收邊界主要有拉伸 坐標變換完全匹配層(SC-PML)和單軸各項異性完全匹配層(UPML)。2002年,Ramadan利 用雙線性變換(Bilinear-Transform)方法將復數拉伸坐標變量變換到z域。利用雙線性 變換方法具有離散簡單的優點。
[0006] 由于人們對電磁波在生物體和水基物理領域的興趣不斷增加,Debye介質受到很 大關注,因此Debye介質的CN-FDTD和CN-PML仿真亟需深入研究。
【發明內容】
[0007] 本發明的目的是針對FDTD算法受到CFL穩定性條件限制的缺陷,提高CN-PML算 法的計算效率和吸收效率而提出的基于雙線性變換方法和CN-FDTD的新型SC-PML截斷 Debye介質算法。
[0008] 為實現上述目的,一種截斷一維Debye介質Crank-Nicolson完全匹配層實現算法 的具體方式如下:
[0009] 將頻域中麥克斯韋旋度方程修正為帶有拉伸坐標算子的麥克斯韋方程。在截斷 Debye介質條件下,在SC-PML介質中的歸一化麥克斯韋方程描述為:
[0010] jcoD = C0Vj X H (1)
[0011] j〇)H = -C0Vj x E (2)
[0012] 式中,Ctl是真空中的光速,^為拉伸坐標算子,定義為
[0013] V5 = + yS~yxdy + zS;xdz (3)
[0014] 式中,3工,5y,是關于X,y,z方向的偏導數。
[0015] 將修正后的頻域中一維麥克斯韋旋度方程在直角坐標系中表示。
[0016] 截斷一維Debye介質,SC-PML中的z方向極化,X方向傳播的TEM波,歸一化的麥 克斯韋方程在頻域中表示為
【權利要求】
1. 一種截斷一維Debye介質Crank-Nicolson完全匹配層實現算法,其特征在于具體設 置步驟: 步驟1 :將頻域中麥克斯韋旋度方程修正為帶有拉伸坐標算子的麥克斯韋方程; 步驟2 :將頻域中修正后的一維麥克斯韋旋度方程在直角坐標系中表示; 步驟3 :根據頻域和z域的映射變換關系,將直角坐標系中的一維麥克斯韋方程變換到z域表示; 步驟4 :根據雙線性變換方法的z域和頻域的變換關系,將拉伸坐標變量的z域表示式 代入到原方程中,采用消元法進行推導變換; 步驟5 :基于Crank-Nicolson時域有限差分算法的時域展開形式,以及根據z域和時 域的映射關系,將z域形式的直角坐標系中一維麥克斯韋旋度方程展開成時域有限差分的 形式; 步驟6 :將時域有限差分形式的方程整理成求解的形式,結果產生一組電位移矢量和 磁場稱合的方程,是一組隱式方程; 步驟7 :根據Debye介質的色散關系,推導電位移矢量和電場分量的關系并利用雙線性 關系將表達式變換到z域表示,將關系表達式代入電場的隱式方程中,整理為關于電場的 隱式方程; 步驟8 :將這組隱式方程進行去耦,即將磁場分量的方程代入到電場分量的方程中; 步驟9 :將代入磁場后的場量的方程進行整理,整理后獲得等式左邊為三對角矩陣形 式的系數的電場顯式迭代方程; 步驟10 :利用追趕法求解系數為三對角矩陣的電場迭代方程,得到電場分量的值; 步驟11 :將求解出的電場值代入到磁場的迭代方程中,求解出磁場分量的值,返回到 步驟9,循環步驟9-11,從而在時間上迭代求解。
2.由權利1所述的截斷一維Debye介質Crank-Nicolson完全匹配層實現算法,其特征 在于:步驟4,利用雙線性變換方法將拉伸坐標變量由頻域變換到z域過程: 對于一維PML介質空間,z方向極化、x方向傳播的麥克斯韋方程中的拉伸坐標變量的 頻域表達式為
式中,層中沿x方向的電導率;其倒數為
利用映射關系,
,得到
式中:
,At為計算時間步長,ZT[_]表示雙線性 變換。
3.由權利1所述的截斷一維Debye介質Crank-Nicolson完全匹配層實現算法,其特征 在于:步驟5,基于Crank-Nicolson時域有限差分算法的時域展開形式:
cx (i) = c0 A tbx (i) / (2 A x)。
4.由權利1所述的一種截斷一維Debye介質Crank-Nicolson完全匹配層實現算法,其 特征在于:步驟7,電位移矢量和電場分量有如下關系
式中,e=〇是在頻率為無窮大時的相對介電常數,es是在頻率為零時的相對介電常數,h為弛豫時間,推導電位移矢量和電場分量的關系并利用雙線性關系將表達式變換到z域 表示
式中,Pi=(卜T )/(1+T ),P2 = (e =〇 +esT )/(1+T ),P3 = (e ~ -esT )/(1+T),T =At/t0。
5.由權利1所述的一種截斷一維Debye介質Crank-Nicolson完全匹配層實現算法,其 特征在于:步驟9,將代入磁場后的場量的方程進行整理,整理后獲得等式左邊為三對角矩 陣形式的系數的電場顯式迭代方程為
再將求解出的電場值代入到權利3中的公式(5)中求解出磁場的值。
【文檔編號】G06F17/50GK104408256SQ201410712408
【公開日】2015年3月11日 申請日期:2014年12月1日 優先權日:2014年12月1日
【發明者】李建雄, 于洋, 史偉光 申請人:天津工業大學