多孔壓電材料電彈場(chǎng)分析方法
【專利摘要】本發(fā)明公開了一種多孔壓電材料電彈場(chǎng)分析方法，先給定待分析壓電材料中多個(gè)孔的形狀和位置，進(jìn)而建立對(duì)應(yīng)于該多個(gè)孔的保角映射函數(shù)；在考慮多個(gè)孔相互影響的前提下，給出了壓電材料電彈場(chǎng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)的攝動(dòng)表達(dá)式以及多個(gè)孔內(nèi)介質(zhì)的電勢(shì)函數(shù)的攝動(dòng)表達(dá)式；將壓電材料的復(fù)勢(shì)函數(shù)和多個(gè)孔內(nèi)的電勢(shì)函數(shù)分別在多個(gè)孔邊展開成Fourier級(jí)數(shù)，得出所有勢(shì)函數(shù)的半解析解；通過已求解出的勢(shì)函數(shù)，計(jì)算出壓電材料孔邊的應(yīng)力場(chǎng)、電場(chǎng)以及孔內(nèi)介質(zhì)的電場(chǎng)。本方法適用于任意給定的孔的形狀和位置。相比于有限元方法，本發(fā)明無需繁瑣的幾何建模和網(wǎng)格劃分，在計(jì)算速度和精度上也有很大的優(yōu)勢(shì)；所建立的復(fù)變函數(shù)攝動(dòng)方法，可應(yīng)用于求解多孔各向同性和各向異性材料。
【專利說明】多孔壓電材料電彈場(chǎng)分析方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及一種壓電材料電彈場(chǎng)分析方法，尤其涉及一種壓電材料孔邊應(yīng)力集中 和電場(chǎng)集中的半解析分析方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 自19世紀(jì)80年代居里兄弟首先在石英晶體上發(fā)現(xiàn)壓電效應(yīng)后，壓電材料的研究 和發(fā)展就迅速展開。壓電材料是一類重要的、國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)極為激烈的高技術(shù)新材料，在信息激 光、導(dǎo)航和生物等高【技術(shù)領(lǐng)域】應(yīng)用廣泛。
[0003] 在壓電材料的制造和使用過程中，難免出現(xiàn)孔洞；另一方面，由于人為的需要，一 些壓電結(jié)構(gòu)需要開孔。由于多數(shù)壓電材料屬于脆性材料，當(dāng)其受到外加機(jī)械載荷和電載荷 時(shí)，孔邊會(huì)產(chǎn)生較大的應(yīng)力集中或者電場(chǎng)集中，這些力電集中很有可能造成壓電材料孔邊 裂紋生成或擴(kuò)展、電擊穿或壓電材料的最終失效。因此，壓電材料孔邊電彈場(chǎng)分析有很大的 工程意義。
[0004] Sosa等人建立了各向異性壓電平面的電彈場(chǎng)的復(fù)變函數(shù)理論，Gao和Fan基于這 套理論導(dǎo)出了含單個(gè)橢圓孔壓電材料電彈場(chǎng)的解析解。Hwu和Qin借助保角映射技術(shù)得出 了含單個(gè)非橢圓孔壓電材料的解析解，但不幸的是，Kosmodamianskii和Ting指出：非橢圓 孔的保角映射函數(shù)嚴(yán)格說來是不正確的，由此得到的壓電材料的應(yīng)力場(chǎng)和電場(chǎng)將在某些地 方發(fā)生奇異，這跟物理現(xiàn)象嚴(yán)重不符。所以，從那以后就很少有關(guān)于含單個(gè)非橢圓孔壓電材 料的研究了，更不用提關(guān)于含多個(gè)非橢圓孔壓電材料的研究了。
[0005] 隨著計(jì)算機(jī)性能的快速發(fā)展，有限元法也越來越受到重視。有限元法突破了很多 理論方法的局限，數(shù)值地給出了很多理論不能解決的問題。但當(dāng)有限元法應(yīng)用到含非橢圓 孔壓電材料上時(shí)，存在以下問題：
[0006] (1)為了保證計(jì)算結(jié)果的精度，所建立的幾何模型也應(yīng)有較高的精度，但由于非橢 圓孔的復(fù)雜性，所建立的幾何模型的精度可能保證不了。
[0007] (2)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論研究結(jié)果表明，最大應(yīng)力集中和電場(chǎng)集中往往發(fā)生在孔邊的 最大曲率處，所以為了獲得較高精度的應(yīng)力分布和電場(chǎng)分布，對(duì)孔邊（特別是最大曲率處） 的網(wǎng)格質(zhì)量要求較高。
[0008] (3)必須準(zhǔn)備多個(gè)不同密度和質(zhì)量的網(wǎng)格模型，通過分別計(jì)算這些模型的結(jié)果來 獲得收斂結(jié)果，這將耗費(fèi)大量的人力和計(jì)算時(shí)間。
[0009] 因此，總體說來，有限元法雖能近似地得到含非橢圓孔壓電材料的電彈場(chǎng)，但需耗 費(fèi)大量機(jī)時(shí)和人力，而且精度得不到保證。
【發(fā)明內(nèi)容】
[0010] 技術(shù)問題
[0011] 本發(fā)明要解決的技術(shù)問題是提供一種多孔壓電材料電彈場(chǎng)的高精度分析方法，該 方法從復(fù)變函數(shù)出發(fā)，結(jié)合攝動(dòng)理論，給出了多孔壓電材料電彈場(chǎng)的復(fù)勢(shì)函數(shù)以及孔內(nèi)介 質(zhì)電勢(shì)函數(shù)的半解析解，同時(shí)提供一種將該半解析解數(shù)值化的程序。
[0012] 技術(shù)方案
[0013] 為了解決上述的技術(shù)問題，本發(fā)明中的求解多孔壓電材料電彈場(chǎng)的復(fù)變函數(shù)攝動(dòng) 方法包括下列步驟：
[0014] 步驟一：根據(jù)給定的多個(gè)孔的形狀和位置，根據(jù)Schwarz-Christoffel映射并利 用Maple軟件計(jì)算出相應(yīng)的保角映射函數(shù)z = XjIx2 = Coi ( €山i = 1，2,…，n(I為虛部 單位，n為孔的數(shù)目）。
[0015] 步驟二：根據(jù)給定的壓電材料的電彈常數(shù)和孔內(nèi)介質(zhì)的介電常數(shù)，計(jì)算出用于表 達(dá)壓電材料電彈場(chǎng)以及孔內(nèi)介質(zhì)電位移的相關(guān)復(fù)常數(shù)。
[0016] 步驟三：根據(jù)保角映射的具體形式，建立壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)以及孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函 數(shù)的攝動(dòng)級(jí)數(shù)表達(dá)式，這些攝動(dòng)級(jí)數(shù)表達(dá)式中包含了一定數(shù)目的待定未知復(fù)系數(shù)（數(shù)目可 自由設(shè)定）。其中，壓電材料的復(fù)勢(shì)函數(shù)是基于Laurent級(jí)數(shù)攝動(dòng)得到的，而孔內(nèi)介質(zhì)的電 勢(shì)函數(shù)則是根據(jù)非橢圓域內(nèi)的Faber級(jí)數(shù)得出。
[0017] 步驟四：利用壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)和孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函數(shù)來表達(dá)將每個(gè)孔邊的力學(xué)和 電學(xué)邊界條件。其中，力學(xué)邊界條件指壓電材料在孔邊處的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力為〇， 電學(xué)邊界條件指在孔邊處壓電材料的電勢(shì)和法向電位移分別等于孔內(nèi)介質(zhì)的電勢(shì)和法向 電位移。
[0018] 步驟五：將力學(xué)和電學(xué)邊界中壓電材料的復(fù)勢(shì)函數(shù)和孔內(nèi)介質(zhì)的電勢(shì)函數(shù)在孔邊 處展開成Fourier級(jí)數(shù)。步驟三中孔內(nèi)介質(zhì)的電勢(shì)函數(shù)Fi(Z)已經(jīng)是Fourier級(jí)數(shù)，故在 本步驟中無需處理。其中，孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函數(shù)在孔邊的Fourier級(jí)數(shù)比較容易得到，而對(duì)于 壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)在孔邊的Fourier級(jí)數(shù)，由于壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)中包含了多個(gè)孔之間的 相互影響，必須首先建立多個(gè)保角映射函數(shù)中自變量Mi= 1，2,…，n)的關(guān)系，包括以下 子步驟：
[0019] 步驟5. 1 :由于不同映射平面內(nèi)不同的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于壓電材料物理平面內(nèi)的同一個(gè) 點(diǎn)，所以有《i(D=?j( €j)成立；
[0020] 步驟5. 2 :考慮第i個(gè)孔邊，方程wi( €D= 〇』（€』）變?yōu)椹杋(。）= 〇』（€j)， 其中〇i指第i個(gè)映射平面內(nèi)單位圓上的點(diǎn)；
[0021] 步驟5. 3:方程COi(Oi) = (OjUj)是關(guān)于未知數(shù)h的高次方程，由于高次方程 沒有解析解，我們將給定多個(gè)不同。i，通過數(shù)值計(jì)算得出相應(yīng)的h，這些h的值將會(huì)用 來做后續(xù)的數(shù)值積分。
[0022] 步驟六：對(duì)于第i個(gè)孔邊的力學(xué)和電學(xué)邊界條件，分別令其等式兩邊關(guān)于 < (/=士1，±2, 士3,...）的系數(shù)相等，從而獲得一系列關(guān)于攝動(dòng)級(jí)數(shù)表達(dá)式中待定復(fù)系數(shù)以及 它們共軛的線性方程組。
[0023] 步驟七：通過迭代算法，求解該線性方程組得出待定復(fù)系數(shù)，從而確定壓電材料復(fù) 勢(shì)函數(shù)和孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函數(shù)。
[0024] 步驟八：根據(jù)Sosa復(fù)變函數(shù)理論，根據(jù)已知的壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)和孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì) 函數(shù)，計(jì)算出孔邊應(yīng)力場(chǎng)、電場(chǎng)以及孔內(nèi)介質(zhì)的電場(chǎng)。
[0025] 本發(fā)明所實(shí)現(xiàn)的復(fù)變函數(shù)攝動(dòng)法包括保角映射函數(shù)模塊、壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)和孔 內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函數(shù)攝動(dòng)表達(dá)式模塊、孔邊Fourier級(jí)數(shù)展開模塊和復(fù)線性方程組求解模塊。
[0026] 更進(jìn)一步地，在步驟一中，多個(gè)孔的保角映射函數(shù)將根據(jù)Schwarz-Christoffel 映射和每個(gè)孔的形狀和位置在數(shù)學(xué)軟件Maple中計(jì)算得到。
[0027] 更進(jìn)一步地，在步驟二中，孔內(nèi)介質(zhì)的介電常數(shù)可自由設(shè)置，以便模擬電穿透和電 不可穿透邊界條件；攝動(dòng)表達(dá)式的階數(shù)可自行設(shè)置，以便根據(jù)不同的孔的形狀調(diào)整精度。
[0028] 更進(jìn)一步地，在步驟五中，當(dāng)其中兩孔距離較小時(shí)，為獲得較好的精度，對(duì)應(yīng)的 Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)將通過特殊的數(shù)值積分方法得到。
[0029] 更進(jìn)一步地，在步驟四中，求解應(yīng)力場(chǎng)和電場(chǎng)時(shí)涉及的孔邊切線方向，通過保角映 射函數(shù)得到。
[0030] 有益效果
[0031] 本發(fā)明的方法開拓了復(fù)變函數(shù)在壓電材料孔邊電彈場(chǎng)集中研究領(lǐng)域的應(yīng)用，在減 少計(jì)算量的同時(shí)，增強(qiáng)了工程實(shí)用性，提高了求解精度。該方法將傳統(tǒng)理論方法與現(xiàn)代數(shù)值 計(jì)算相結(jié)合，減少了計(jì)算時(shí)間和人力投入，提高了求解效率，是壓電材料電彈場(chǎng)集中領(lǐng)域的 一種突破。本方法圍繞壓電材料的復(fù)變函數(shù)理論，結(jié)合攝動(dòng)理論，突破了傳統(tǒng)非橢圓孔保角 映射的存在的問題；該方法不僅過程簡(jiǎn)單，而且具有良好的適應(yīng)性與穩(wěn)定性，可開發(fā)成商用 程序以靈活適應(yīng)問題的變化。
【專利附圖】
【附圖說明】
[0032] 圖1為含兩個(gè)任意形狀孔的壓電材料，外邊界受到均勻的力電載荷。
[0033] 圖2為含有一個(gè)三角形孔和一個(gè)正方形孔的壓電材料，當(dāng)外邊界在X2方向上受到 均勻電位移載荷時(shí)，三角形孔邊的環(huán)向應(yīng)力以及三角形孔內(nèi)電場(chǎng)在X1和X2兩個(gè)方向的 分量。
[0034] 圖3為含有一個(gè)三角形孔和一個(gè)正方形孔的壓電材料，當(dāng)外邊界在X2方向上受到 均勻電位移載荷時(shí)，正方形孔邊的環(huán)向應(yīng)力以及正方形孔內(nèi)電場(chǎng)在X1和X2兩個(gè)方向的 分量。
[0035] 圖4為含有一個(gè)卵圓形孔和一個(gè)橢圓形孔的壓電材料，當(dāng)外邊界在X2方向上受到 均勻電位移載荷i?『時(shí)，卵圓形孔邊的環(huán)向應(yīng)力以及卵圓形孔內(nèi)電場(chǎng)在X1和X2兩個(gè)方向的 分量。
[0036] 圖5為含有一個(gè)卵圓形孔和一個(gè)橢圓形孔的壓電材料，當(dāng)外邊界在X2方向上受到 均勻電位移載荷％時(shí)，橢圓形孔邊的環(huán)向應(yīng)力以及橢圓形孔內(nèi)電場(chǎng)在X1和X2兩個(gè)方向的 分量。
【具體實(shí)施方式】
[0037] 實(shí)施例一：
[0038] 本實(shí)施例為含有一個(gè)三角形孔和一個(gè)正方形孔的PZT-4壓電材料（如圖2和圖3 所示），受到X2方向的均勻電載荷D2*5，兩孔內(nèi)介質(zhì)均為空氣。PZT-4的材料常數(shù)（包括彈 性矩陣A、壓電矩陣B和介電矩陣C)和空氣介電常數(shù)Stl如下：
[0039] A11 = 8. 205X1(T12,A12 = -3. 144X1(T12,A22 = 7. 495XKT12,
[0040] A33 = 19. 3XKT12 (Pa-1);
[0041] B13 = 39. 4X1(T3,B21 = -16. 62X1(T3,B22 = 23. 96XKT3 (m2/C) ; (I)
[0042] C11 = 7. 66XIO7,C22 = 9. 82XIO7 (mF)；
[0043] e〇 = 8. 85Xl(T12F/m.
[0044] 步驟一：根據(jù)Schwarz-Christoffel映射并利用Maple軟件計(jì)算出相應(yīng)的保角映 射函數(shù)為
[0045]
【權(quán)利要求】
1. 一種多孔壓電材料電彈場(chǎng)分析方法，其特征在于，包括下列步驟： 步驟一：根據(jù)給定的多個(gè)孔的形狀和位置，建立該多個(gè)孔的保角映射函數(shù)Z = Xl+Ix2 = ? i U i)，i = 1，2,…，n,其中I為虛部單位，n為孔的數(shù)目； 步驟二：根據(jù)給定的壓電材料的電彈常數(shù)和孔內(nèi)介質(zhì)的介電常數(shù)，得到用于表達(dá)壓電 材料電彈場(chǎng)以及孔內(nèi)介質(zhì)電位移的相關(guān)復(fù)常數(shù)； 步驟三：根據(jù)保角映射的具體形式，建立壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)以及孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函數(shù)的 攝動(dòng)級(jí)數(shù)表達(dá)式，即，
其中，ai;k，p，h和du為待定復(fù)系數(shù)，\p為設(shè)定的項(xiàng)數(shù)； 步驟四：利用步驟三得到的壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)和孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函數(shù)來表達(dá)每個(gè)孔邊的 力學(xué)和電學(xué)邊界條件，其中，力學(xué)邊界條件指壓電材料在孔邊處的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng) 力為〇,電學(xué)邊界條件指在孔邊處壓電材料的電勢(shì)和法向電位移分別等于孔內(nèi)介質(zhì)的電勢(shì) 和法向電位移； 步驟五：將力學(xué)和電學(xué)邊界中壓電材料的復(fù)勢(shì)函數(shù)在孔邊處展開成Fourier級(jí)數(shù)（步 驟三中孔內(nèi)介質(zhì)的電勢(shì)函數(shù)Fi (z)已經(jīng)是Fourier級(jí)數(shù),故在本步驟中無需處理），包括下 列子步驟： 步驟5. 1 :根據(jù)CoiUi) = p表述不同映射平面內(nèi)不同的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于壓電材料物 理平面內(nèi)的同一個(gè)點(diǎn)； 步驟5. 2 :對(duì)于第i個(gè)孔邊，適用方程WiC & D = 〇」（&」）變?yōu)镺iC。D = 〇」（€』)， 其中〇 i指第i個(gè)映射平面內(nèi)單位圓上的點(diǎn)； 步驟5. 3:方程COi(Oi) = 是關(guān)于未知數(shù)h的高次方程，由于高次方程沒有 解析解，我們將給定多個(gè)不同Oi，通過Maple數(shù)值計(jì)算得出相應(yīng)的 步驟5. 4 :利用步驟5. 3中得到的L的值，給出壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)和空內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函
系數(shù)的已知函數(shù)； 步驟六：對(duì)于第i個(gè)孔邊的力學(xué)和電學(xué)邊界條件，分別令其等式兩邊關(guān)于 <r/(/=±l,±2，±3, ...）的系數(shù)相等，從而獲得一系列關(guān)于攝動(dòng)級(jí)數(shù)表達(dá)式中待定復(fù)系數(shù)以及它 們共軛的線性方程組PX = q，其中X為待定復(fù)系數(shù)列向量，矩陣P和列向量q可通過Maple 計(jì)算得到； 步驟七：通過迭代算法，求解該線性方程組得出待定復(fù)系數(shù)，從而確定壓電材料復(fù)勢(shì)函 數(shù)朽(4)0=1>2>3)和孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函數(shù)匕( 2)(1 = 1，2); 步驟八：根據(jù)Sosa復(fù)變函數(shù)理論，根據(jù)已知的壓電材料復(fù)勢(shì)函數(shù)和孔內(nèi)介質(zhì)電勢(shì)函 數(shù)，得到孔邊應(yīng)力場(chǎng)、電場(chǎng)以及孔內(nèi)介質(zhì)的電場(chǎng)。
2. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的多孔壓電材料電彈場(chǎng)分析方法，其特征在于：在步驟一中，多 個(gè)孔的保角映射函數(shù)將根據(jù)Schwarz-ChristofTel映射和每個(gè)孔的形狀和位置在數(shù)學(xué)軟 件Map I e中計(jì)算得到。
3. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的多孔壓電材料電彈場(chǎng)分析方法，其特征在于：在步驟二中，孔 內(nèi)介質(zhì)的介電常數(shù)可自由設(shè)置，以便模擬電穿透和電不可穿透邊界條件；攝動(dòng)表達(dá)式的階 數(shù)可自行設(shè)置，以便根據(jù)不同的孔的形狀調(diào)整精度。
4. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的多孔壓電材料電彈場(chǎng)分析方法，其特征在于：在步驟五中，當(dāng) 其中兩孔距離較小時(shí)，為獲得較好的精度，對(duì)應(yīng)的Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)將通過特殊的數(shù)值 積分方法得到。
5. 根據(jù)權(quán)利要求1所述的多孔壓電材料電彈場(chǎng)分析方法，其特征在于：在步驟四中，求 解應(yīng)力場(chǎng)和電場(chǎng)時(shí)涉及的孔邊切線方向，通過保角映射函數(shù)得到。
【文檔編號(hào)】G06F17/50GK104361165SQ201410611912
【公開日】2015年2月18日 申請(qǐng)日期:2014年11月4日 優(yōu)先權(quán)日:2014年11月4日
【發(fā)明者】戴明, 黃成 , 高存法, 王爽, 宋坤, 范文榮 申請(qǐng)人:南京航空航天大學(xué)