基于Associated Hermite 正交函數的無條件穩定FDTD算法
【專利摘要】本發明涉及一種無條件穩定的電磁場時域有限差分（FDTD）新算法。它通過AssociatedHermite（AH）正交函數展開微分形式的Maxwell方程組，利用伽遼金（Galerkin）原理消除時間變量，得到有限維AH域的隱式方程進行求解。最后通過AH域反變換得到電磁場時域結果。該發明通過時域到AH域的轉化，使得未知量求解個數大大減少，計算效率顯著提高；整個計算過程與時間變量無關，不受傳統FDTD穩定性條件的限制，計算結果無條件穩定。這些特點為高效快速計算具有多尺度特性的復雜電磁場問題，提供了新的解決方法。
【專利說明】基于Associated Hermite正交函數的無條件穩定FDTD算
法
【技術領域】
[0001]本發明涉及一種無條件穩定的電磁場時域有限差分(FDTD)算法。
【背景技術】
[0002]隨著計算機技術的發展和電磁理論的應用與推動，計算電磁學時域方法得到了長足的發展，與頻域方法相輔相成。時域的方法的優點是可以給出豐富的瞬態信息，能更直觀地模擬物理現象。通過對時域信息直接作傅里葉變換(Fourier),可以得到問題的頻域信息。基于這些好的特性，時域方法在通信、雷達、電磁防護、電磁兼容、醫療診斷等方面得到了廣泛地應用和深入地研究。此外，在一些特定的領域，如電磁脈沖、雷電和高能微波脈沖等瞬態脈沖現象、及非線性材料等領域，頻域方法不能很好的解決或無法求解，而時域方法可以應用并得到滿意的結果，這是頻域方法無法替代的。
[0003]時域有限差分(finite-differencetime-domain, FDTD)方法是由 Kane S.Yee在1966年提出，以有限差分方法為基礎，使用Yee網格空間離散框架，對麥克斯韋旋度方程分量式的時間和空間坐標微分作數值離散，得到差分格式的電磁場數值計算方法。傳統的FDTD方法是顯式差分方法，受柯西穩定性條件約束，時間步長值取決于最小空間步長。為了準確地模擬含有精細結構的電磁模型，需要用足夠小的空間步長對求解區域劃分網格。為了保證計算的穩定性，時間步長的取值也非常小，需要的時間步進數目非常大，這使得傳統的FDTD方法仿真所需時間非常長乃至難以接受。為了提高FDTD方法求解這類具有多尺度特性的電磁問題的效率，許多專家和學者在減弱或消除FDTD的柯西穩定性條件約束方面做了大量工作。其中，無條件穩定的FDTD方法為重要研究方向。例如:AD1-FDTD, CN-FDTD, LOD-FDTD 和 Laguerre-FDTD 等。其中，Laguerre-FDTD 方法以加權Laguerre多項式為基函數,通過求解展開系數實現高效快速的仿真計算。
[0004]Associated Hermite正交函數由Hermite多項式和高斯函數加權得到。其“最具時頻緊支基函數”和“時頻基同型”的特點使得它在信號處理、圖像分析和生物工程等領域有廣泛的研究和應用。本發明利用Associated Hermite正交函數的優良特點并結合FDTD基本原理推導出一種無條件穩定的新算法。
【發明內容】
[0005]本發明的目的:針對傳統FDTD方法在穩定性方面的限制及多尺度電磁問題建模的不足，提出一種基于Associated Hermite正交函數的無條件穩定FDTD算法,可以對多尺度特性電磁問題實現高效快速的時域仿真分析，并以此為進一步挖掘AH基函數優良特點在FDTD中其他方面的應用打下基礎。
[0006]本發明需要解決的關鍵問題是:①如何將時域Maxwell方程變換成AH域線性方程組；②如何求解AH域線性方程組。
[0007]本發明利用Associated Hermite (AH)正交函數作為展開Maxwell方程組的基函數，利用伽遼金(Galerkin)原理消除時間變量，得到與基函數階數相關的方程組，建立方程組從時域到AH域的轉換，從而時域的求解轉化為AH域展開系數的求解。由于AH基函數微分的固有“相鄰階”特點，使得AH域的Maxwell方程組也呈現“相鄰階”的特點。聯立空間所有展開系數，引入初值條件，得到一個嵌套矩陣系數的五對角隱式方程，采用LU分解對系數矩陣進行分解，從而用追趕法求解磁場(電場)展開系數。基本計算單元是與基函數空間維數相等的低階矩陣單元。電場(磁場)展開系數可以通過磁場(電場)單獨求解。
[0008]所述的AH正交基函數是指由Hermite多項式慫⑴和高斯函數exp(-12/2)加權得到的具有時頻緊支撐特點的正交基函數集
【權利要求】
1.基于AssociatedHermite (AH)正交函數的無條件穩定FDTD算法,其特征在于,利用AH基函數展開Maxwell方程組，用伽遼金(Galerkin)原理消除時間變量，聯立空間所有展開系數，引入初值條件，得到一個嵌套矩陣系數的五對角隱式方程，電場或者磁場展開系數可以單獨求解出來。
2.根據權利要求1所述的基于AH正交函數的無條件穩定FDTD算法，其特征在于首次運用Associated Hermite正交函數作為基函數展開Maxwell方程組，實現時域Maxwell微分方程組到AH域線性方程組的轉化。
3.根據權利要求1所述的基于AH正交函數的無條件穩定FDTD算法，其特征在于利用AH基函數微分公式推導出來的電磁場微分表示形式，結合Galerkin原理，得到了權利2中的線性方程組。
4.根據權利要求1所述的基于AH正交基函數的無條件穩定FDTD算法，其特征在于通過引入初值條件，實現了權利2和3中線性方程組的封閉求解。
5.根據權利要求1所述的基于AH正交基函數的無條件穩定FDTD算法，其特征在于權利4中得到的封閉方程組的求解是通過聯立空間所有展開系數，消去電場(或磁場)分量，最后得到僅關于磁場(或電場)分量的具有嵌套矩陣系數特點的五對角隱式方程來實現求解。
6.根據權利要求1所述的基于AH正交基函數的無條件穩定FDTD算法，其特征在于電場和者磁場展開系數可以分別單獨求解，這與傳統FDTD的“耦合”同時求解不同。
【文檔編號】G06F17/14GK103970717SQ201410190150
【公開日】2014年8月6日 申請日期:2014年5月8日 優先權日:2014年5月8日
【發明者】石立華, 黃正宇, 陳彬, 周穎慧 申請人:中國人民解放軍理工大學