專利名稱：基于開路環境導體的三維互連寄生電感快速提取方法
1技術領域基于開路環境導體的三維互連寄生電感快速提取方法屬于集成電路計算機輔助設計(IC-CAD)技術領域。
背景技術：
集成電路(Integrated Circuit，IC)是當前電子工業、乃至信息產業的基石。隨著半導體集成電路制造技術的發展，電路中金屬互連線越來越窄(達到0.13微米以下)，線與線的間距也越來越小。這使得互連線之間的電磁場寄生效應已成為影響諸如延遲、功耗和可靠性等電路性能的主要因素。因此，在集成電路設計中必須考慮互連寄生效應。
在當前的VLSI-CAD設計流程中，要設計一塊芯片，首先要提出功能描述，然后經過邏輯設計、版圖設計得到描述半導體工藝結構的版圖。這時需要進行一個”版圖驗證”的步驟，來驗證電路設計是否能達到當初設定的性能要求，如果滿足要求就可以進行生產制造，否則還要回到邏輯設計進行修正，重復一個迭代的過程。在版圖驗證中，一個重要的環節稱為”寄生參數提取”，它包括計算金屬互連線之間的寄生電阻、電容、電感等參數。只有得到這些互連寄生參數后，才能進行電路模擬以判斷電路是否達到性能要求。
在芯片特征尺寸持續縮小和集成度不斷提高的同時，電路時鐘頻率不斷提高，目前已達到數GHz以上。過去，互連延時一般只考慮寄生電容與電阻的影響，而忽略了電感的影響。但是，在高頻復雜互連結構中，導體間相互電磁影響十分顯著，電感對芯片性能產生顯著影響。與電容一樣，電感對信號的傳輸產生延遲以及振鈴現象，影響信號完整性。因此，精確提取互連線間的電感對設計高性能集成電路尤為重要。
在當前工藝特征下，為進行精確的電感提取，需要對集成電路版圖的三維模型進行數值模擬，其主要方法包括體積元法和邊界元法。前者較為成熟，已廣泛應用于實際計算。七十年代由IBM公司Watson研究中心Ruehli等人引進互連電感電阻提取的PEEC(Partial Element Equivalent Circuit)模型(Ruehii，Inductance calculations in a complex integrated circuit environment，1972)以及著名軟件RAPHAEL與FastHenry(Kamon，FasthenryA multipole-accelerated 3-d inductanceextraction program，1994)使用的都屬于體積元方法。它們精度高，穩定性好。近年來，多種快速算法如多極加速、層次式計算等被應用于體積元方法中，使速度得到顯著提高。雖然體積元方法有上述優點，但由于工業實際中計算需求越來越多、其中考慮的三維結構也越來越大，如何提高三維電感提取方法的計算速度就成了當務之急。
通常的體積元方法在待計算的兩個端口對分別設置1v和0v的電壓，通過計算導體1和導體2上的電流I1和I2，可得到導納矩陣Y(ω)的第一列。同理，分別在兩個端口上置偏壓U1＝0v，U2＝1v，計算出I1，I2，可得到導納矩陣Y(ω)的第二列。在求出導納矩陣后，求逆即可得阻抗矩陣Z(ω)＝Y(ω)-1，其實部為電阻R，虛部為電感與角頻率的乘積jωL。
當工作頻率達到數GHz，受到趨膚效應和鄰近效應的影響，導體橫截面上電流不再均勻分布，為準確計算導體電流，需沿導體長度方向將其劃分為若干足夠細的電流細絲，并假設每一細絲上的電流都均勻分布。在計算出所有細絲上的電流之后，疊加得到導體電流。后面將詳細介紹這一過程。
上述過程可以得到精確結果，但計算時間過長，近年來關于電感提取的研究主要集中于如何在犧牲一定精度的前提下加快計算速度。通常做法都是在一定程度上忽略距離較遠的環境導體上感應電流，降低電感矩陣的稠密度，以得到較好的計算速度與精度的折衷。這些方法都在一定程度上加快了互連參數提取的速度，但由于對主導體加1v偏壓的同時，其它環境導體均兩端短接，令偏壓為零，在環境導體上會產生較大的感應電流。只有距離主導體較遠的環境導體上感應電流項才可以忽略，因此加速效果有限。為適應日益增長的芯片規模，需要為三維電感提取發展新的加速策略。
本發明具體創新之處即在于提出了一種新的偏壓設置方式。在為系統內導體設置偏壓時，除了某根導體設1v偏壓外，其余導體均設為開路而非0v偏壓。我們在后面將通過具體算例表明，在這種情況下，開路導體上的細絲電流可以近似忽略為零。基于這一近似，可進一步推知，即使在高頻下，相距較遠的導體間互感僅與導體自身相關而不受環境影響。在此基礎上，我們給出了一種基于開路環境導體假設的電感快速提取方法，可以大大減少計算量，節省計算時間。
發明內容本發明的目的，是在體積元算法的基礎上，提供一種可加快電感計算速度的基于開路環境導體假設的三維互連寄生電感快速提取方法。
導體系統中的每根導體都會通過互感影響其它導體上的電流分布，因此要計算每塊導體兩端電壓與通過導體電流之間的關系，就必須對導體系統中的自感與互感作出計算。對一個含n對端口的正弦穩態系統，有如下關系成立Z(ω)I(ω)＝U(ω) (1)其中，Z(ω)∈Cn×n是阻抗矩陣，包含電阻及電感項，即Z(ω)＝R+jωL，ω是角頻率，I(ω)，U(ω)∈Cn分別是端口電流及電壓向量。
式(1)可變換為如下形式Y(ω)U(ω)＝I(ω) (2)其中，Y(ω)是阻抗矩陣Z(ω)的逆。為簡單起見，可考察一個只包含兩對端口的系統，如圖1所示。對于該系統而言，導納矩陣有如下形式Y(ω)=Y11Y12Y21Y22---(3)]]>下面將對本發明做原理性介紹導納矩陣的計算需要求解在不同偏壓條件下導體系統的電流分布，將導體偏壓視為邊界條件，問題可轉化為對Maxwell方程組的求解，但直接計算解析解十分困難，通常需要進一步將其轉為積分方程或偏微分方程組，再通過有限差分、有限元、邊界元等數值方法求解。有限差分與有限元方法需要對導體系統所在的整個空間做離散化，變量數過于龐大，而邊界元方法雖然僅需對導體表面做離散化，但在理論上尚不完善，難以應用于實際計算。MIT的Kamon在1994年提出了一種基于PEEC的體積元模型(Kamon，FasthenryA multipole-accelerated 3-dinductance extraction program，1994)，他將Maxwell方程適當簡化，變換為積分方程。該模型僅需離散導體內部空間，大大減少了未知量個數。下面對這種體積元模型的流程依次加以介紹。
電感與電阻是導體在電磁場中所表現的性質，可通過求解如下Maxwell方程組得出×E＝-jωμH (4)×H＝jωεE+J (5)·(εE)＝ρ(6)·(μH)＝0(7)其中，E為電場強度，ω為角頻率，μ為磁導率，H為磁場強度，ε為介電常數，J為傳導電流密度，ρ為電荷密度。由歐姆定律，J與E存在如下關系J＝σE (8)其中，σ為電導率。對于電路問題，系統可近似視為準靜態場，所涉及的電磁波頻率足夠小，波長遠大于導體的標準線寬，即σ＞＞ωε，因此位移電流jωεE可被忽略。對式(5)兩邊取散度，可得到電流守恒方程·J＝0(9)為了在方程中消去場量E和H，而代之以電路參量J，我們可將H表為矢量A的旋度，H是無散場，因此總成立μH＝×A (10)其中，A為矢量磁位。將式(10)代入(4)有×(E+jωA)＝0 (11)由上式可知，應當存在一個標量勢，滿足如下關系-Φ＝E+jωA (12)
為唯一確定矢量磁位A，需增加一附加條件，即令其滿足庫侖規范(Coulombgauge)·A＝0 (13)利用式(13)和(10)，式(5)有如下形式-2A＝μJ(14)求解上式可得A(r)=μ4π∫V′J(r′)|r-r′|dv′---(15)]]>其中V′是所有導體的體積。將式(8)和(15)代入式(12)即可得到積分方程J(r)σ+jωμ4π∫V′J(r′)|r-r′|dv′=-▿φ(r)---(16)]]>結合電流守恒方程(9)，求解方程(16)可得到電流密度J與電位φ，進而得到導體的頻變電感和電阻。
在高頻下，導體橫截面上電流分布不均勻，為求解積分方程(16)，需做離散化處理。在磁準靜態假設下，對于橫截面尺寸相對其縱向尺寸很小的導體，可認為其電流僅沿與導體表面平行的方向流動。同時，為描述趨膚與鄰近效應，可將導體在截面上離散為一束電流細絲(filament)，并設每根電流細絲的電流密度為常數，此外，對長直導體，或具有轉角、彎曲的管腳封裝結構等，可將導體分割成若干直導體段，如圖2所示。
假定將導體劃分為m根電流細絲，且每根電流細絲中的電流密度均視為常量，則導體電流密度分布可以表示為J(r)=Σi=1mIiωi(r)li→---(17)]]>其中，Ii是電流細絲i的電流，ai是電流細絲的截面面積， 是沿電流細絲長度方向的單位矢量，權函數ωi(r)定義為
定義如下向量內積(a→,b→)=∫Va→·b→dv---(19)]]>利用矩量法，將電流密度的展開式(17)代入積分方程(16)，并兩端與 作內積，可得到m個線性方程liσaiIi+jωΣj=1m(μ4πaiaj∫Vi∫Vj′li→·lj→|r-r′|dVj′dVi)Ij=]]>1ai∫ai(ΦA-ΦB)dA----(20)]]>其中，li是電流細絲i的長度，ai是細絲i的橫截面積，ΦA、ΦB為導體兩個端面A、B上的電位，Vi、Vj′分別為電流細絲i、j的體積元。上式的右端可取為電流細絲兩端的平均電位差1ai∫ai(ΦA-ΦB)dA=Φ~A-Φ~B---(21)]]>離散化的積分方程(20)可以寫成矩陣形式(R+jωL)Im=Φ~A-Φ~B---(22)]]>其中，Im∈Cm是m根細絲上電流組成的列向量，R∈Cm×m是一個對角矩陣，其對角元素是細絲的直流電阻Rii=Liσai---(23)]]>其他非對角元素為0。電感矩陣中的元素為Lij=μ4πaiaj∫Vi∫Vj′li→·lj→|r-r′|dVj′dVi---(24)]]>它是一個m×m的稠密矩陣，表示細絲間的部分電感。式(24)給出了計算細絲電感的解析積分公式，但在實際應用中，積分公式的計算量過大，通常需要對其做一定簡化，通過形式較為簡單的解析公式來計算細絲電感。Kim在文(Be carefulof self and mutual inductance formulae，2001)中詳細列舉并比較了目前幾種主要的簡化解析公式，其中，Kamon實現于軟件FastHenry中的簡化解析公式計算效果最為穩定，本發明中也繼續沿用了這一組公式，其自感計算公式如下Lselfl=2μπ[14{1ωsinh-1(ωat)+1tsinh-1(taω)+sinh-1(1r)}]]>+124{t2ωsinh-1(ωt×at×(r+ar))+ω2tsinh-1(tω×aω×(r+ar))]]>+t2ω2sinh-1(ω2t×r×(at+ar))+ω2t2sinh-1(t2ω×r×(aω+ar))]]>+1ω×t2sinh-1(ω×t2at×(aω+ar))+1t×ω2sinh-1(t×ω2aω×(at+ar))}]]>-16{1ω×ttan-1(ω×tar)+tωtan-1(ωt×ar)+ωttan-1(tω×ar)}]]>-160{(ar+r+t+at)×t2(ar+r)(r+t)(t+at)(at+ar)]]>+(ar+r+ω+aω)×ω2(ar+r)(r+ω)(ω+aω)(aω+ar)]]>+ar+aω+1+at(ar+aω)(aω+1)(1+at)(at+ar)}]]>-120{1r+ar+1aω+ar+1at+ar}]---(25)]]>式中各參數定義如下ω=Wl]]>t=Tl]]>r=ω2+t2]]>aω=ω2+1]]>at=t2+1]]>ar=ω2+t2+1]]>其中，W、T、l分別是導體的橫截面寬度、高度以及導體長度。
兩根導體間的互感計算公式如下Lmul=0.001[αsinh-1(αβ)-βsinh-1(βd)-γsinh-1(γd)+δsinh-1(δd)]]>-α2+d2+β2+d2+γ2+d2-δ2+d2]---(26)]]>式中各參數定義如下sinh-1(x)=ln(x+x2+1)]]>α＝l1+l2+δβ＝l1+δγ＝l2+δ其中，l1、l2分別是兩根導體的長度，d和δ分別是導體間的側向距離與垂直距離。這里需要指出的是，導體的橫截面積通常對導體間互感影響很小，因此在簡化的解析公式中通常都不包含導體橫截面積的參數。
在計算得到細絲阻抗矩陣中各元素后，矩陣方程(22)可寫成ZIm＝Um(27)其中Z＝R+jωL是導體系統的細絲阻抗矩陣，Um=Φ~A-Φ~B]]>是導體細絲電壓向量。
求解式(27)可得到導體細絲電流向量Im，疊加即可得到導體電流向量。
我們先通過幾個簡單例子來觀察高頻下鄰近效應對導體電流分布的影響。先考慮圖3(a)中一對平行對齊導體a和b的情況，導體a、b的長、寬、高分別為100μm、2μm、1μm。如果導體a加1v偏壓，導體b兩端開路，工作在100GHz頻率下，對兩導體的截面做5×5細絲劃分，我們可以用FastHenry計算細絲電流。在圖4(a)中，縱坐標表示電流值(單位是10-7A，橫坐標代表了25根細絲，每根曲線表示在不同的導體間距下的細絲電流幅值，曲線旁標記的S表示對應的導體間距。
從圖4(a)可以看出，隨著導體間距由1.5μm逐漸增加為5μm和10μm，導體a上的細絲電流變化很小，與此同時導體b上的細絲電流要比導體a的小得多，當間距為5μm時，其平均值為27.0μA，僅為此時導體a細絲電流平均值的2.9％。
再考慮圖3(b)中的情況，導體段a和b相連，導體a寬1.6μm，高0.85μm，長17.5μm，導體b寬2μm，高0.85μm，長9.05μm，兩者夾角為135度，工作頻率仍然為100GHz，這是一個來自于實際的管腳封裝中的結構，通常導體段a和b總會形成一個鈍角，極少遇見存在銳角的情況。與圖3(a)不同的是，由于a和b相連，因此需要考察當b開路時是否會受到a的影響而產生較大電流，圖5(a)中給出了當導體a加1v偏壓，導體b兩端開路時的細絲電流分布，可以看到，當導體b開路時，其上電流仍然極小，對導體a上電流幾乎不會產生影響。
作為一個比較，我們在這兩種導體結構中均將導體b兩端由開路改為短路，重復上面的實驗，其電流分布結果分別如圖4(b)和圖5(b)所示。從中可以看出，在第一種結構中，導體b上的細絲電流有顯著增加，某些細絲的感應電流甚至超過了a上細絲的電流，總體上導體b的電流比圖4(a)中的大得多，導體a上的電流也受到導體b的影響而有顯著變化；而在第二種結構中，導體b上的細絲電流仍然極小，這主要是因為導體a和b交錯排列，彼此的電磁耦合作用較微弱，因此互相影響也較小。
以上比較可以說明，當主導體a上加1v偏壓時，與a之間的距離較遠(比如兩倍的線寬)或雖然相連但形成一鈍角的環境導體b如果兩端開路，那么b上的細絲電流可以近似視為零，幾乎不會影響到主導體a上的電流分布，因此對a的自阻抗也不會有明顯影響。此外，這種近似程度的好壞也與頻率有關，頻率越高鄰近效應越顯著，因此在目前芯片工作頻率普遍仍低于100GHz的情況下，上述開路環境導體上細絲電流近似為零的假設可以得到更好的滿足。
我們用一個簡單的圖示來說明一根開路環境導體上仍有電流流動的原因，如圖6所示，是兩根被劃分為若干細絲的導體，以及它們的等價電路圖，導體a兩端加1v偏壓，導體b兩端開路，其總電流應當為零。但是可以看到，導體b內部的細絲通過導體兩個端點分別短接，形成了電流回路，由于這些細絲在導體a產生的交變電磁場空間中處于不同位置，它們的感應電壓彼此不同，這樣在細絲間就產生了感生電壓差，從而產生細絲回路電流。
容易理解的是，當導體兩端開路時，決定細絲回路電流的是不同細絲間兩端感應電壓的差值，由于這些細絲仍然位于同一根導體內，它們與主導體a的距離差別并不大，產生的感應電壓也不會差別太大，因此在內部的細絲回路上產生的細絲電流只是一個微小的數值。但是當導體兩端短接時，形成了一個外部的電流回路，決定導體電流的將是導體上的感應電壓，這個值通常會遠大于不同細絲上的感應電壓差，因此導體兩端短接時產生的感應電流也較大。這在圖4和圖5中也得到了直觀的說明。
在以往基于體積元方法的電感快速計算中，通常采取忽略導體間較小的耦合電流，以減少計算量，提高計算速度。但以上分析表明，由于以往的計算方法設置環境導體兩端偏壓為零，就不能過多的忽略主導體周圍導體的電流，只有那些距離較遠且被屏蔽較多的導體才可以被忽略。同時我們通過實驗說明了當環境導體距離主導體足夠遠時，可近似認為開路環境導體上電流為零。當然，這種近似的成立也依賴于工作頻率，以及所計算結構的特點。下面我們將基于此假設給出一種新的電感提取算法的加速策略，數值實驗將表明，在高達100GHz的情況下，我們的忽略開路導體電流的快速方法仍有較好精度，能夠適用于芯片電源地線結構和封裝結構的電感提取。
考慮一個由n根導體組成的系統，其阻抗矩陣應有如下形式Z11Z12···Z1nZ21Z22···Z2n············Zn1Zn2···ZnnI1I2···In=U1U2···Un---(28)]]>其中，Ii和Ui分別是第i個導體上的電流和電壓，Zij是導體i與j之間的阻抗。如果我們在第1根導體上加1v偏壓，其余導體開路，電流為零，則式(28)可化簡為如下形式Z11Z21···Zn1I1=U1U2···Un---(29)]]>由上式可以得到阻抗Zj1的簡化形式Zj1=UjI1---(30)]]>在式(30)中，I1是導體1上的電流，由于我們令其它所有導體均開路并忽略其細絲電流，導體1的電流分布不應受周圍環境影響，因此I1僅與導體1自身結構相關。Uj是導體j上產生的感應電壓，同樣，由于除導體1外其余導體上的細絲電流均近似為零，除導體1和j以外的其它環境導體都不會對導體j產生影響，因此Uj應當僅受導體1與導體j的影響。根據式(30)可直接得出結論，在開路導體的細絲電流為零的假設下，導體1與導體j之間的阻抗僅與導體1和導體j相關，不受其余環境導體的影響。
基于這一結論，一個較直接的電感提取方法就是對導體兩兩間的電感分別求解，步驟如下描述1.從導體系統中取兩根導體a和b，建立它們的細絲阻抗矩陣；2.依次在導體a和b上加1v偏壓，另一導體加0v偏壓，通過上述體積元模型求解導體a和b的自感與互感；假設有n根導體，每根導體被離散化為m根細絲，則以上流程被執行 次，每次都需要求解兩次維度是2m的線性方程組，然后可以得到所有導體之間的阻抗。由于一個維度是n的線性方程組的求解復雜度是O(n2)量級，因此上述方法的計算復雜度是O(m2n2)。另一方面，FastHenry采用網格分析方法，需要對一個維度接近于mn的線性方程組求解n次，它的線性復雜度近似等于O(m2n3)。因此可以看到，上述直接對導體阻抗兩兩求解的方法的加速效果是十分有限的，下面我們將給出一個計算復雜度僅為O(m2n)的快速電感提取方法。
以一個含兩導體a、b的結構為例，不妨設導體a被劃分為細絲1、2、3，導體b被劃分為細絲4、5，可建立如下電路方程Z11Z12Z13Z14Z15Z21Z22Z23Z24Z25Z31Z32Z33Z34Z35Z41Z42Z43Z44Z45Z51Z52Z53Z54Z55I1I2I3I4I5=U1U2U3U4U5---(31)]]>其中，Zij是細絲i和j之間的阻抗，Ii和Ui分別是細絲i上的電流和電壓。此外，細絲電流、電壓與導體電流、電壓之間有如下關系I1+I2+I3＝Ia(32)U1＝U2＝U3＝Ua(33)I4+I5＝Ib(34)U4＝U5＝Ub(35)其中，Ia和Ua是導體a上的總電流和電壓，Ib和Ub是導體b上的總電流和電壓。
在導體a兩端加1v偏壓，即Ua＝1，另外令導體b開路，即Ib＝0，接受第二節的近似假設，忽略導體b上細絲4和細絲5之間的回路感應電流，因此I4＝I5＝0，式(31)可化簡為Z11Z12Z13Z21Z22Z23Z31Z32Z33Z41Z42Z43Z51Z52Z53I1I2I3=111U4U5---(36)]]>求解式(36)中的前三行，可以得到I1、I2、I3。
令導體a的自阻抗以及與細絲4、5之間的阻抗分別為Zaa、Z4a、Z5a，應滿足如下方程ZaaZa4Za5Z4aZ44Z45Z5aZ54Z55Ia00=1U4U5---(37)]]>對比式(36)和式(37)，可以得到ZaaIa＝Z11I1+Z12I2+Z13I3＝1； (38)Z4aIa＝Z41I1+Z42I2+Z43I3；(39)Z5aIa＝Z51I1+Z52I2+Z53I3；(40)以上三式中，右端參數均為已知，因此可以得到導體a與細絲4、5之間的各項阻抗Zaa、Z4a、Z5a，并由對稱性可得Za4和Za5。
進一步，我們在導體b上加偏壓1v，導體a開路，忽略其上細絲電流，在導體a與細絲4、5之間有如下電路方程ZaaZa4Za5Z4aZ44Z45Z5aZ54Z550I4I5=Ua11---(41)]]>
如果將導體a、b都看作整體，它們應當滿足如下方程ZaaZabZbaZbb0Ib=Ua1---(42)]]>對比式(41)和式(42)，可以得到ZabIb＝Za4I4+Za5I5＝Ua(43)ZbbIb＝Z44I4+Z45I5＝1 (44)由式(43)和(43)可以直接計算出Zab和Zbb，最后得到導體a與b之間的阻抗矩陣有如下形式1I1+I2+I3Σp=13Σq=45IpIqZpq(I1+I2+I3)(I4+I5)Σp=13Σq=45IpIqZpq(I1+I2+I3)(I4+I5)1I4+I5IaIb=UaUb---(45)]]>上式中，系數矩陣就是待求的阻抗矩陣，其虛部為導體電感值，其中，Zpq可通過式(23)、(47)和(48)求出，I1、I2、I3通過求解方程組(36)中的前三行得到，I4、I5由下式決定Z44Z45Z54Z55I4I5=11---(46)]]>以上推導過程可推廣至含n根導體的系統，算法如下1.對每根導體，做適當的細絲劃分，計算細絲阻抗矩陣，并求解電路方程，得到導體獨立存在時的細絲電流；2.利用步驟(1)中的求解結果，直接通過式(49)計算導體間的自感和互感。
本發明的特征在于，所述方法是以計算機為工具，依次按以下步驟實現的1.向計算機輸入以下信息
(a)導體的數量以及各自的位置坐標和幾何形狀參數；(b)各導體的電學參數、用戶指定的劃分數和劃分比值，劃分比值是指將導體劃分為細絲時，相鄰兩細絲的寬度或高度比值；(c)版圖尺寸的單位；(d)要求計算的端口對；(e)工作頻率；2.用用戶指定的細絲劃分參數把各個導體離散化，按給定的劃分比值確定各導體內邊緣細絲與其內側相鄰細絲寬度或高度的比值；3.按下述方法建立各導體的細絲阻抗矩陣(a)首先計算各細絲的直流電阻RiiRii=Liδai]]>其中，Li是第i根細絲的長度；δi是導體材料的電導率；ai是細絲的橫截面積；(b)然后計算各細絲的自感LselfLselfl=2μπ[14{1ωsinh-1(ωat)+1tsinh-1(taω)+sinh-1(1r)}]]>+124{t2ωsinh-1(ωt×at×(r+ar))+ω2tsinh-1(tω×aω×(r+ar))]]>+t2ω2sinh-1(ω2t×r×(at+ar))+ω2t2sinh-1(t2ω×r×(aω+ar))]]>+1ω×t2sinh-1(ω×t2at×(aω+ar))+1t×ω2sinh-1(t×ω2aω×(at+ar))}]]>-16{1ω×ttan-1(ω×tar)+tωtan-1(ωt×ar)+ωttan-1(tω×ar)}]]>-160{(ar+r+t+at)×t2(ar+r)(r+t)(t+at)(at+ar)]]>+(ar+r+ω+aω)×ω2(ar+r)(r+ω)(ω+aω)(aω+ar)]]>+ar+aω+1+at(ar+aω)(aω+1)(1+at)(at+ar)}]]>-120{1r+ar+1aω+ar+1at+ar}]---(47)]]>式中各參數定義如下ω=Wl]]>t=Tl]]>r=ω2+t2]]>
aω=ω2+1]]>at=t2+1]]>ar=ω2+t2+1]]>其中，W、T、l分別是導體的橫截面寬度、高度以及導體長度。
(c)最后計算細絲間的互感LmulLmul=0.001[αsinh-1(αβ)-βsinh-1(βd)-γsinh-1(γd)+δsinh-1(δd)]]>-α2+d2+β2+d2+γ2+d2-δ2+d2]---(48)]]>式中各參數定義如下sinh-1(x)=ln(x+x2+1)]]>α＝l+m+δβ＝l+δγ＝m+δ其中，l、m分別是兩根導體的長度，d和δ分別是導體間的側向距離與垂直距離。
由以上可得導體的細絲阻抗矩陣為Z＝R+jωL；4.選擇各導體中任一個導體作為主導體，加上1v偏壓，而其它導體開路，按下式計算主導體上的細絲電流值以及各細絲電流之和，即主導體上的總電流ZmI＝U其中，Zm是主導體m的細絲阻抗矩陣，I和U分別是其上細絲的電流向量和電壓向量；依次對所有導體按同樣步驟施以1v偏壓，計算導體內的細絲電流以及導體總電流；5.在求得每根導體施加1偏壓而周圍環境導體開路時的導體細絲電流之后，按下式求導體的阻抗矩陣，矩陣內每一元素的實部即為各導體的電阻，而虛部為導體的電感與角頻率的乘積；因此可由下式得到導體a和b之間的自感和互感1Σp=1naIapΣp=1naΣq=1nbIapIbqZap,bqΣp=1naIapΣq=1nbIbqΣp=1naΣq=1nbIapIbqZap,bqΣp=1naIapΣq=1nbIbq1Σq=1nbIbqIaIb=UaUb---(49)]]>
其中，na、nb分別是導體a和b中的細絲劃分數，Iap、Ibq分別是導體a、b內第p根和第q根細絲上的電流值，Zap，bq是細絲p和細絲q之間的互阻抗。
對于含n根導體的系統，如果每根導體劃分為m根細絲，以上算法在第一步中需要求解n次維度為m的線性方程組，時間復雜度僅為O(nm2)，第二步是簡單的公式計算，其時間可忽略不計。而FastHenry對一個維度是mn的方程組求解n次，計算復雜度將達到O(n3m2)。可以看到本文方法與FastHenry相比，計算復雜度中n降低了兩個量級。通常對于一個復雜導體系統而言，n可以達到數百甚至上千，而m是單個導體的細絲劃分數，其數值在10-30之間，因此n的量級對計算復雜度起到了決定性的影響，我們提出的新算法明顯大大提高了計算速度。
圖1具有兩對端口的導體系統及其示意圖；圖2單根導體的分段以及細絲劃分；圖3兩種待考察的導體結構(a)兩根平行對齊導體；(b)兩根相連導體；圖4圖3(a)中導體細絲電流分布曲線(a)圖3(a)中導體a加1v偏壓、導體b兩端開路情況下，導體a、b細絲電流的幅值；(b)圖3(a)中導體a加1v偏壓、導體b兩端短路情況下，導體a、b細絲電流的幅值；圖5圖3(b)中導體細絲電流分布曲線(a)圖3(b)中導體a加1v偏壓、導體b兩端開路情況下，導體a、b細絲電流的幅值；(b)圖3(b)中導體a加1v偏壓、導體b兩端短路情況下，導體a、b細絲電流的幅值；圖6導體a、b分別劃分為四根細絲，形成的電流回路示意圖；圖7本發明所述方法的計算步驟流程圖。
具體實施方式
本專利申請的電感電阻提取方法計算程序用C++語言編程實現，名為FEO(Fast Extraction of Open-circuit)。可以在SUN SPARC系列工作站上的UNIX操作系統及PC機的Linux操作系統上運行。下面結合一個具體實例說明基于開路環境導體的三維互連寄生電感快速提取的執行過程。在該算例中，導體的電導率為5.8e7，計算頻率為10G赫茲。
1.首先從硬盤讀入該算例的輸入文件，確定導體的位置坐標和幾何形狀信息。本例中含2塊平行對齊導體，尺寸均為30×0.6×2μm(長×寬×高)，間距2μm，劃分數為3×3，劃分比值為2×2，即寬度方向上相鄰細絲的內外寬度比值以及高度方向上相鄰細絲的內外高度比值寬度均是二分之一。2.離散化系統，即按照輸入文件指定的細絲劃分參數對導體進行劃分。在本例中，由于細絲劃分數均為3×3，劃分比值為2×2，因此每根導體含9根細絲。導體1和導體2中，鄰近導體左右表面的細絲在寬度方向的尺寸分別是0.15μm，中間電流細絲的寬度是0.3μm。在高度方向，鄰近導體上下表面的細絲在高度方向的尺寸分別是0.5μm，中間電流細絲的高度是1μm。在本算例中，導體1和導體2的組成的導體系統阻抗矩陣有如下形式Zf=Zf11Zf12Zf21Zf22=Rf11+jωLf11jωLf12jωLf21Rf22+jωLf22---(50)]]>其中，R和L都是塊矩陣，其具體數值如下Rf11=Rf22=0.4370000000000.4370000000000.4370000000000.4370000000000.4370000000000.4370000000000.4370000000000.4370000000000.437]]>
jωLf11=jωLf22]]>=1.3791.3471.2771.2821.2591.2061.0931.0821.0541.3461.3791.3471.2591.2821.2591.0821.0931.0821.2771.3471.3791.2061.2591.2821.0541.0821.0931.2821.2591.2061.3791.3471.2771.2821.2591.2061.2591.2821.2591.3461.3791.3471.2591.2821.2591.2061.2591.2821.2771.3471.3791.2061.2591.2821.0931.0821.0541.2821.2591.2061.3791.3471.2771.0821.0931.0821.2591.2821.2591.3471.3791.3471.0541.0821.0931.2061.2591.2821.2771.3471.379]]>jωLf12=jωLf21]]>=0.9070.8730.8430.8900.8590.8310.8460.8220.7980.9430.9070.8730.9240.8900.8590.8730.8460.8220.9840.9430.9070.9600.9240.8900.9000.8730.8460.8900.8590.8310.9070.8730.8430.8900.8590.8310.9240.8900.8590.9430.9070.8730.9240.8900.8590.9600.9240.8900.9840.9430.9070.9600.9240.8900.8460.8220.7980.8900.8590.8310.9070.8730.8430.8730.8460.8220.9240.8900.8590.9430.9070.8730.9000.8730.8460.9600.9240.8900.9840.9430.907]]>3.分別在導體1和導體2上加1v偏壓，則其細絲電壓向量Uf1和Uf2均為全1向量。求解如下方程可得到細絲電流向量If1和If2Zf11If1＝Uf1Zf22If2＝Uf24.將細絲阻抗值與細絲電流值代入式(49)，可得到導體1和導體2間的電感矩陣為Lf=0.2200.1340.1340.220×10-10H---(51)]]>我們進一步用一個隨機生成的含450根信號線的互連結構作為計算對象，來說明我們這一算法的計算效果。這一結構基于TSMC(Taiwan Semiconductor Man-ufacturing Co.Ltd)的0.09μm工藝參數，采用銅互連線，電阻率1.98×10-7Ω·m，具體的工藝尺寸信息如表1所示。
表1 TSMC 0.09μm工藝參數層數 最小線寬(μm) 最小線間距(μm) 高度(μm)Metal10.120.120.25Metal20.140.120.35Metal30.140.120.35Metal40.140.120.35Metal50.140.120.35Metal60.140.120.35Metal70.140.120.35Metal80.420.420.9Metal90.420.420.9在考察的這一結構中，信號線分布在第7、8、9三層，每層含150根。相鄰層的布線方向互相垂直，即第7層和第9層互連線水平放置，第8層互連線豎直放置。取每層線寬為最小線寬，相鄰線間距取最小線間距，層高1μm。第7層互連線取1×3細絲劃分，第8、9層互連線取3×5細絲劃分。
我們采用由MIT開發，業界公認為標準的互連寄生參數提取軟件FastHenry來作為我們算法的比較對象，具體計算結果列于表2和3中。
表2 FEO對隨機互連結構的電感計算結果(與FastHenry相比)誤差＜0.3％ ＜0.9％ ＜1.5％ ＜2.1％ ＜3％＜4％10GHz 100％00000100GHz 88.22％ 7.54％ 2.05％ 1.98％ 0.20％ 0.0053％
表3 FEO對隨機互連結構的電阻計算結果(與FastHenry相比)誤差＜0.3％ ＜0.6％ ＜3％ ＜9％ ＜15％ ＜21％10GHz 98.48％ 1.52％ 0 0 00100GHz 0033.78％ 8.44％ 21.56％ 36.22％表2顯示，該算法計算互連電感能達到一個較高精度，即使當頻率高達100GHz時，絕大部分誤差仍保持在0.3％以下。另一方面，表3顯示，這一算法用于計算電阻時，難以適應于全頻段的工作范圍，當頻率升高到幾十GHz以至100GHz時，電阻值將出現較大誤差，這主要是因為導體電阻值對電流分布的變化更為敏感，該算法忽略開路環境導體電流的假設對于計算電阻值而言并不總是合適。因此，這一算法的主要應用范圍是大規模互連結構的寄生電感計算。
表4是FastHenry和FEO對這一算例的計算時間比較，可以看到，在保持相當高精度的同時，FEO可以提高計算速度數百倍。
表4 FastHenry與FEO對隨機互連結構的計算時間比較頻率FastHenry(s) FEO(s) 加速比10GHz 26104.7 83.04 314.4100GHz22308.4 81.75 272.9
權利要求
1.基于開路環境導體的三維互連寄生電感快速提取方法，其特征在于，所述方法是以計算機為工具，依次按以下步驟實現的(1)向計算機輸入以下信息a.導體的數量以及各自的位置坐標和幾何形狀參數；b.各導體的電學參數、用戶指定的劃分數和劃分比值，劃分比值是指將導體劃分為細絲時，相鄰兩細絲的寬度或高度比值；c.版圖尺寸的單位；d.要求計算的端口對；e.工作頻率；(2)用用戶指定的細絲劃分參數把各個導體離散化，按給定的劃分比值確定各導體內邊緣細絲與其內側相鄰細絲寬度或高度的比值；(3)按下述方法建立各導體的細絲阻抗矩陣a.首先計算各細絲的直流電阻RiiRii=Liδai]]>其中，Li是第i根細絲的長度；δi是導體材料的電導率；ai是細絲的橫截面積；b.然后計算各細絲的自感LselfLselfl=2μπ[14{1ωsinh-1(ωat)+1tsinh-1(taω)+sinh-1(1r)}]]>+124{t2ωsinh-1(ωt×at×(r+ar))+ω2tsinh-1(tω×aω×(r+ar))]]>+t2ω2sinh-1(ω2t×r×(at+ar))+ω2t2sinh-1(t2ω×r×(aω+ar))]]>+1ω×t2sinh-1(ω×t2at×(aω+ar))+1t×ω2sinh-1(t×ω2aω×(at+ar))}]]>-16{1ω×ttan-1(ω×tar)+tωtan-1(ωt×ar)+ωttan-1(tω×ar)}]]>160{(ar+r+t+at)×t2(ar+r)(r+t)(t+at)(at+ar)]]>+(ar+r+ω+aω)×ω2(ar+r)(r+ω)(ω+aω)(aω+ar)]]> -120{1r+ar+1aω+ar+1at+ar}]---(1)]]>式中各參數定義如下ω=Wcl]]>t=Tcl]]>r=ω2+t2]]>aω=ω2+1]]>at=t2+1]]>ar=ω2+t2+1]]>其中，Wc、Tc、l分別是導體的橫截面寬度、高度以及導體長度。c.最后計算細絲間的互感LmulLmul=0.001[αsinh-1(αβ)-βsinh-1(βd)]]]>-γsinh-1(γd)+δsinh-1(δd)]]>-α2+d2+β2+d2+γ2+d2-δ2+d2]---(2)]]>式中各參數定義如下sinh-1(x)=ln(x+x2+1)]]>α＝l+m+δβ＝l+δγ＝m+δ其中，l、m分別是兩根導體的長度，d和δ分別是導體間的側向距離與垂直距離。由以上可得導體的細絲阻抗矩陣為Z＝R+jωL；(4)選擇各導體中任一個導體作為主導體，加上1υ偏壓，而其它導體開路，按下式計算主導體上的細絲電流值以及各細絲電流之和，即主導體上的總電流ZmI＝U其中，Zm是主導體m的細絲阻抗矩陣，I和U分別是其上細絲的電流向量和電壓向量；依次對所有導體按同樣步驟施以1υ偏壓，計算導體內的細絲電流以及導體總電流；(5)在求得每根導體施加1偏壓而周圍環境導體開路時的導體細絲電流之后，按下式求導體的阻抗矩陣，矩陣內每一元素的實部即為各導體的電阻，而虛部為導體的電感與角頻率的乘積；因此可由下式得到導體a和b之間的自感和互感1Σp=1naIapΣp=1naΣq=1nbIapIbqZap,bqΣp=1naIapΣq=1nbIbqΣp=1naΣq=1nbIapIbqZap,bqΣp=1naIapΣq=1nbIbq1Σq=1nbIbqIaIb=UaUb---(3)]]>其中，na、nb分別是導體a和b中的細絲劃分數，Iap、Ibq分別是導體a、b內第p根和第q根細絲上的電流值，Zap，bq是細絲p和細絲q之間的互阻抗。
全文摘要
基于開路環境導體的三維互連寄生電感快速提取方法屬于IC－CAD技術領域，其特征在于，本發明在大量實驗基礎上提出以開路環境導體來代替閉合回路導體，來快速提取三維互連寄生電感，即當主導體加1υ偏壓時令其它導體均兩段開路，然后求出導體的細絲阻抗矩陣，再進一步用電路方程解出細絲電流和導體上的總電流，由此得出導體阻抗矩陣，從中可得到三維互連寄生電感。本發明消除了基于閉路環境導體計算三維互連寄生電感所帶來的誤差，并且也提高了計算速度。
文檔編號G06F17/50GK1696941SQ20051001195
公開日2005年11月16日 申請日期2005年6月17日 優先權日2005年6月17日
發明者喻文健, 魏洪川, 王澤毅 申請人:清華大學