倒立擺的非線性控制器設計方法
【專利摘要】一種倒立擺的非線性控制器設計方法，屬于非線性控制技術領域。本發明的目的是將分步控制器設計法應用于倒立擺控制的問題中，從而提高控制器整體性能的倒立擺的非線性控制器設計方法。本發明建立倒立擺系統的非線性模型、設計穩態控制器、設計參考動態前饋控制器，設計反饋控制器是針對倒立擺的閉環誤差系統，采用李雅普諾夫方法設計了反饋控制器；最后得到整個系統控制器的控制律。本發明既解決了線性控制器在倒立擺這種非線性較強、模型較復雜的多變量系統中的局限性，又解決了云模型和神經網絡等智能算法在應用過程中難以實現的問題。
【專利說明】
倒立擺的非線性控制器設計方法
技術領域
[0001] 本發明屬于非線性控制技術領域。
【背景技術】
[0002] 倒立擺系統作為研究控制理論的一種典型的實驗裝置，具有成本低廉、結構簡單、 物理參數和結構易于調整的優點。倒立擺系統本身具有高階次、多變量、不穩定、非線性和 強耦合性等特點，是一個絕對不穩定系統，必須采用有效的控制策略才能使之穩定。倒立擺 系統是研究變結構控制、非線性控制、目標定位控制和智能控制等控制方法的理想實驗平 臺。
[0003] 倒立擺系統一般是由一個可以在水平軌道上自由移動的小車、倒立擺和鉸鏈成。 倒立擺的種類很多，目前研究的均為二維空間即平面內擺動的擺。倒立擺的工作原理大體 相同，即采用一種控制方法，控制小車的速度，使擺桿倒置穩定于正上方，這個系統也叫自 動平衡車。
[0004] 隨著對倒立擺系統控制方法研究的不斷深入，越來越多的理論被成功運用于倒立 擺系統的控制，如線性控制方法、非線性控制方法、基于能量的控制方法、基于亀的控制方 法、基于增強式學習的控制方法、基于滑模理論的控制方法、基于遺傳算法的控制方法、基 于模糊邏輯的控制方法、基于神經網絡理論以及模糊邏輯與神經網絡相結合的控制方法 等。
[0005] 倒立擺本身是不穩定的，在控制過程中能有效地反映控制中的許多問題，如鎮定 問題、非線性問題、魯棒性問題、隨動問題以及跟蹤問題等。作為被控對象，它是一個高階 次、不穩定、多變量、非線性、強耦合系統，只有設計一個控制器，使之穩定。
[0006] 工程中的很多控制對象都具有與倒立擺系統類似的結構，如空間飛行器和各類伺 服云臺、海上鉆井平臺的穩定控制、衛星發射架的穩定控制、火箭姿態控制、飛機安全著陸、 化工過程控制都屬于這類問題。因此對倒立擺控制系統的研究具有重要的理論和實際意 義。
[0007] 目前對于倒立擺控制系統的研究主要集中在兩個方面:一是研究控制器使倒立擺 穩定并可以定位在特定位置;二是倒立擺的起擺控制。控制器的設計是倒立擺系統的核心 內容，由于倒立擺是一個絕對不穩定的系統，需要設計控制器，以實現倒立擺的穩定控制和 抑制干擾。目前典型的控制器有:PID控制，是通過機理分析，建立非線性模型，并在平衡點 進行線性化，得到系統的狀態方程和輸出方程，進而設計PID反饋控制器進行穩定控制;狀 態反饋控制，是基于倒立擺系統的狀態空間描述，采用狀態反饋理論設計控制器;利用云模 型實現對倒立擺的控制，是用云模型構成語言值，用語言值構成規則，形成一種定性的推理 機制，這種擬人的控制不要求給出被控對象精確的數學模型，僅僅依據人的經驗、感受和邏 輯判斷，將人用自然語言表達的控制經驗，通過語言原子和云模型轉換到語言控制規則器 中，解決非線性問題和不確定問題； 神經網絡控制能夠任意充分地逼近復雜的非線性關系，學習和適應嚴重不確定性系統 的動態特性，所有定量或定性的信息按等勢分布儲存于網絡內的神經元，有很強的魯棒性 和容錯性，也可將學習算法和BP神經網絡有效結合，實現狀態未離散化的倒立擺無模型學 習控制；自適應控制，主要為倒立擺設計各種自適應控制器，如自適應模糊控制器、自適應 PID控制器和自適應模糊PID控制器等。
[0008] 用現代控制理論的方法實現倒立擺系統的穩定控制，必須將倒立擺系統的非線性 模型進行線性化處理，再根據對系統控制所提出的性能指標進行分析與綜合，得到控制器， 但對于倒立擺這種非線性較強、模型較為復雜的多變量系統，線性系統設計方法具有局限 性，而云模型和神經網絡控制等方法需要大量的數據，實現過程復雜，不易于在線控制。
[0009] 分步控制器設計法是一種基于模型的算法，主要應用在系統的跟蹤控制問題，其 設計思路源于在工程中經常采用的"前饋+PID反饋"的控制結構。分步控制器設計法由"穩 態控制器+前饋控制器+誤差反饋控制器"三部分組成，針對不同的控制目的，分三步推導完 成。設計過程簡單，所得控制律結構層次清晰，而且各個部分都包含有系統的狀態信息或工 況信息，通過每步的信息更新，可以實現控制器增益的自調節。控制器設計各步驟之間相互 關聯，各步順序不能顛倒。
【發明內容】
[0010] 本發明的目的是將分步控制器設計法應用于倒立擺控制的問題中，從而提高控制 器整體性能的倒立擺的非線性控制器設計方法。
[0011] 本發明建立倒立擺系統的非線性模型、設計穩態控制器、設計參考動態前饋控制 器，設計反饋控制器是針對倒立擺的閉環誤差系統，采用李雅普諾夫方法設計了反饋控制 器;最后得到整個系統控制器的控制律； a、建立單級倒立擺的數學模型： 根據牛頓歐拉方法建立倒立擺系統模型，令為控制量，即被控對象受力，，單級倒 立擺系統運動方程為
其中系統參數定義如表1所示 表1系統參數定義
將模型中擺角賽與位移S的關系解耦，只考慮倒立擺擺角#，令倒立擺控制系統狀態向 量x= f % λ'_7 ]1 Η設旬，其中系統狀態Λν二沒，系統狀態& 冷，令倒立擺控制系統的輸出為
，則倒立擺系統非線性模型如下
;,級％)，名W，惡:(為)和:? W是在定義域:D e #內充分 光滑的非線性函數，并滿足和; 設計目標是得到反饋控制律，使得輸出:y能夠漸進跟蹤參考信號 由公式(6)和公式(7)，得到單級倒立擺的數學模型：
推導控制變量
b、 設計倒立擺系統的穩態控制器： 設系統是輸出達到穩態，即令夕=〇和| = 〇:，得到系統(8)的穩態控制律為
c、 設計參考動態前饋控制器 在穩態控制的基礎上，如果參考值是變化的，將控制律《 =: 代入到式(8)，得 μ = A(x)y- B{x)nf (10) 令#=r和y=r，則參考前饋為
d、 設計誤差反饋控制器 定義系統跟蹤誤差為.V，設待確定的反饋控制量是％，那么閉環誤差反饋控 制律為 u 二 +ub (12) 得到誤差反饋控制律《6整理為
e、 系統控制器的控制律 結合式(9)和（11)得
4 >0，>0;進而可搭建出完整的倒立擺非線性控制器。
[0012] 本發明既解決了線性控制器在倒立擺這種非線性較強、模型較復雜的多變量系統 中的局限性，又解決了云模型和神經網絡等智能算法在應用過程中難以實現的問題。不僅 針對倒立擺系統的非線性、強耦合模型，解決了一大類單輸入多輸出含不確定性的非線性 系統的控制問題，同時降低了控制器的復雜性，減少計算負荷，從而提高控制器的整體性 能。與現有技術相比，具有以下有益效果： 1、本發明針對具有非線性、強耦合的倒立擺系統，設計了穩態控制、前饋控制和反饋控 制相結合的非線性控制器。穩態控制器可使系統獲得更快的控制響應;前饋控制器具有自 適應性，增加了控制系統的響應快速性，同時降低了控制器的調節難度;反饋控制器提高了 系統的魯棒性。
[0013] 2、本發明基于單級倒立擺非線性模型進行了非線性控制器設計，克服了線性控制 方法在倒立擺這樣非線性強、模型復雜的多變量系統的穩定控制中的局限性，系統輸出的 超調更小、穩定速度更快、穩態性能更好，同時克服了云模型和神經網絡等智能算法在倒立 擺穩定控制應用過程中難以實現的問題，控制器簡單、易于實現、計算負荷小。
【附圖說明】
[0014] 圖1是單級倒立擺的結構和受力分析圖； 圖2是分步法設計非線性控制器的控制框圖； 圖3是基于分步法設計的倒立擺非線性控制器的輸出曲線。
【具體實施方式】
[0015] 基于單級倒立擺系統的力學和運動學方程，建立了單級倒立擺系統的數學模型。 采用分步法設計了前饋控制、穩態控制加反饋控制的倒立擺非線性控制方法，實現了單級 倒立擺的高精度控制。
[0016] 建立倒立擺系統的非線性模型；設計穩態控制器，將系統輸出達到穩態時的控制 律輸入到系統中，獲得了更快的控制響應;設計參考動態前饋控制器，當期望參考輸入動態 變化時，將系統產生的相應調節作用引入系統，得到與系統狀態相關的前饋控制律增益;設 計反饋控制器，針對倒立擺的閉環誤差系統，采用李雅普諾夫方法設計了反饋控制器;最后 得到整個系統控制器的控制律。
[0017] 倒立擺系統是由小車和勻質桿組成的系統。忽略摩擦力和空氣阻力，倒立擺系統 中小車和擺桿的受力分析如圖1所示。
[0018] 其中，·、再、€和名為小車和擺桿相互作用力的垂直方向和水平方向分量。矢量 沒方向為正方向。
[0019] 由圖1，小車水平方向受力為 」版二(1) 其中，擺桿水平方向受力為
擺桿垂直方向所受合力為
由力矩平衡方程可得 -FJsmO-FJco&O^IO (4) a、建立單級倒立擺的數學模型： 倒立擺系統是由小車和勻質桿組成的系統。忽略摩擦力和空氣阻力，分析倒立擺系統 中小車和擺桿的受力情況，根據牛頓歐拉方法建立倒立擺系統模型，令'If為控制量，即被 控對象受力獲，單級倒立擺系統運動方程為
其中系統參數定義如表1所示 表1系統參數定義
將模型中擺角:#與位移$的關系解耦，只考慮倒立擺擺角翁，令倒立擺控制系統狀態向 量^:1 =]? #[，其中系統狀態巧=沒，系統狀態巧4,令倒立擺控制系統的輸出
，則倒立擺系統非線性模型如下
? (7) 其中遍:?) 齋齡=1，
說氣)，J#)，&(?)和是在定義域i) C :著內充分 光滑的非線性函數，并滿足備<1) # ?和; 設計目標是得到反饋控制律，使得輸出，能夠漸進跟蹤參考信號3#; 由公式(6)和公式(7)，得到單級倒立擺的數學模型：
不失一般性，為了推導控制變量《的過程書寫簡便，記
[0020] b、設計倒立擺系統的穩態控制器:下面結合圖2說明 第一步為穩態控制，第二步為參考動態前饋控制，第三步為誤差反饋控制，三個步驟都 有清晰的設計目的，并且各步驟之間相互關聯，各步驟順序不能顛倒。各步驟的輸出相加可 得到該系統的控制律。
[0021] 設系統是輸出達到穩態，即令和夢=〇,得到系統(8)的穩態控制律為
[0022] 對比式(6)可以看出，穩態控制主要反映了系統狀態1:的本質動力學。
[0023] c、參考動態前饋控制器 在穩態控制的基礎上，如果參考值是變化的，將控制律代入到式(8)，得
可見，參考前饋的增益與系統的狀態相關，表明系統參考值變化的影響不同。
[0024] d、設計誤差反饋控制器 為了進一步提尚倒立擺控制系統的控制性能，并提尚對擾動和不確定性的魯棒性能， 定義系統跟蹤誤差為A =y:"-.v，設待確定的反饋控制量是％，那么閉環誤差反饋控制律 為 "二 4 + i/?. (12) 閉環系統誤差系統可以寫成
其中在(尤)_薺9。
[0025]對于串級非線性誤差系統（14)，將％看成是咚子系統的虛擬控制輸入，可采用多 種不同設計方法使誤差6 系統漸進穩定。
[0026]實際工程中由于微分求導容易引起噪聲放大而很少使用PD控制器，一般使用PID 或是ΡΙ控制器。為了消除靜差，引入積分作用對反饋控制部分進行修正。
[0027] 對誤差子系統，定義
其中參數知> 〇，叉=|巧潘，對其求導得 f,i. - + 又。(15) 選擇虛擬控制輸入為 ^ = - k0z (16) 其中先：>:0:。
[0028] 將<作為誤差系統（14)的虛擬期望跟蹤，為了使6跟蹤期望的:<，以保證馬漸進 穩定，定義％的虛擬跟蹤誤差為鳥，即& = 6-?，則有
結合方程(14)和（16)，得到誤差為的導數為
選擇控制律為
G負定，可見誤差系統漸進穩定。得到誤差反饋控制律％整理為
[0029] e、最后得到整個系統控制器的控制律 結合式(9)和（11)得
>:0，為:進而可搭建出完整的倒立擺非線性控制器。
[0030] 由于引入誤差的積分，反饋控制部分可以整理成PID的形式，并且PID三部分的增 益都取決于狀態變量。這種穩態、前饋、反饋分步設計相結合的控制律結構給工程調試提供 了指導，同時也給倒立擺系統非線性控制算法的工程實現提供便利。由于它的控制器增益 的自調整特點，也使得這種方法更實用于倒立擺的多工況動態參考系統。
[0031 ] 驗證例： 為了便于理解，下面以一個具體實例解釋說明本發明： 1.建立單級倒立擺的數學模型 系統參數如表2所示。
[0032] 表2系統參數表
倒立擺系統非線性模型如下
其中 /1:(? X:備(％) =1，
重新整理系統模型，得
[0033] 2.穩態控制器的設計。
[0034] 假設系統是輸出達到穩態，即|=0:和,可以得到系統(26)的穩態控制律為
3. 參考動態前饋控制器設計 在穩態控制的基礎上，如果參考值是時變的，將控制律= ? +?代入到式（26)，令 戈二；^和.參=、#，則參考前饋為
4、 誤差反饋控制器設計 為了進一步提尚倒立擺控制系統的控制性能，并提尚對擾動和不確定性的魯棒性能。 定義系統跟蹤誤差為A = ，設待確定的反饋控制量是K，那么閉環誤差反饋控制律為 錄=? +% +?。誤差反饋控制律為
結合式(27)和(28)，可以得
在Matlab/Simulink中搭建了倒立擺系統非線性控制器的仿真模型，系統輸出如圖3所 不。
[0035]從圖3可以看出，在初始時給系統施加一個外力的干擾，系統能在0.21秒內恢復到 平衡位置，并且保持穩定控制，即穩態時間為〇.21s，擺桿的超調在2/10_4rad左右，由此可 以看出，本發明設計的基于分步法的非線性控制器可以使倒立擺系統快速達到穩定控制并 且具有良好的抗干擾能力。
【主權項】
1. 一種倒立擺的非線性控制器設計方法，其特征在于:建立倒立擺系統的非線性模型、 設計穩態控制器、設計參考動態前饋控制器;設計反饋控制器是針對倒立擺的閉環誤差系 統，采用李雅普諾夫方法設計了反饋控制器;最后得到整個系統控制器的控制律； a、建立單級倒立擺的非線性模型： 根據牛頓歐拉方法建立倒立擺系統模型，令?/為控制量，即被控對象受力F，單級倒立 擺系統運動方程為(5) 其中系統參數定義如表1所示 表1系統參數定義將模型中擺角捷與位移$的關系解禪，只考慮倒立擺擺角浄，令倒立擺控制系統狀態向 量其中系統狀態.V二巧，系統狀態，令倒立擺控制系統的輸出為則倒立擺系統非線性模型如下，巧獻，名㈱，換賴巧P盛的是在定義域巧c繫內充 分光滑的非線性函數，并滿足盛約）則和技(錦妾々； 設計目標是得到反饋控制律ζ?，使得輸出V能夠漸進跟蹤參考信號; 由公式(6)和公式(7)，得到單級倒立擺的數學模型：b、設計倒立擺系統的穩態控制器： 設系統是輸出達到穩態，即令護-0和v = 〇,得到系統(8)的穩態控制律為C、設計參考動態前饋控制器 在穩態控制的基礎上，如果參考值是變化的，將控制律"=代入到式(8)，得d、 設計誤差反饋控制器 定義系統跟蹤誤差為巧=灰A -穿，設待確定的反饋控制量是嗚，那么閉環誤差反饋控制 律為e、 系統控制器的控制律 結合式(9)和（11)得焉異貨，馬 >吞，拓 >忿;進而可搭建出完整的倒立擺非線性控制器。
【文檔編號】G05B13/04GK106094530SQ201610582536
【公開日】2016年11月9日
【申請日】2016年7月22日 公開號201610582536.8, CN 106094530 A, CN 106094530A, CN 201610582536, CN-A-106094530, CN106094530 A, CN106094530A, CN201610582536, CN201610582536.8
【發明人】馬彥, 李炳思, 茹敬佩, 劉奇芳, 王留, 孫延帥, 魯超, 王君, 趙海艷, 陳虹
【申請人】吉林大學