帶有不確定動力學的吊車有限時間軌跡跟蹤控制器及方法與流程

本發明涉及欠驅動橋式吊車系統的控制技術領域，尤其涉及一種帶有不確定動力學以及無負載擺角反饋的橋式吊車有限時間軌跡跟蹤控制器及設計方法。

背景技術：

吊車，又稱起重機，是一種大型的工程搬運設備，被廣泛地應用于建筑工地、海港、碼頭等諸多領域。根據結構的差異，吊車可大致地分為橋式吊車、塔式吊車、回轉懸臂式吊車。盡管吊車種類繁多，但它們都有一個本質特性：欠驅動特性。欠驅動系統節省了部分執行器，因此具有硬件成本低、機電結構簡單、重量輕、能耗小等優點。考慮到欠驅動系統的諸多優勢，其控制方法的研究已經成為近年來的一大熱點。在各類吊車中，橋式吊車最具代表性，應用也最為廣泛。眾多學者針對欠驅動橋式吊車系統提出了一系列有意義的控制方法。

直到現在，欠驅動橋式吊車系統的控制問題仍然是一個開放的課題。一方面，由于臺車質量、負載質量、吊繩長度、摩擦力、外部擾動的不確定性使得橋式吊車系統的動力學具有不確定項。并且，這些不確定項很難提前預測，導致已有大多數控制方法的控制性能大打折扣。因此，吊車控制方法的設計應充分考慮不確定動力學的影響。另一方面，已有大多數控制方法均需要負載擺角的反饋。然而，在很多情況下，負載擺角是無法測量的。因此，設計出不需要負載擺角反饋的高性能控制方法是吊車現場實際的需要。

實際上，輸入整形方法以及PD控制器并不需要負載擺角的反饋。輸入整形方法根據吊繩長度信息，將基本命令信號與一系列被稱為輸入整形器的特定脈沖信號做卷積運算。該方法可保證系統無殘余擺動，然而其控制性能卻嚴重依賴于模型的精確程度，當模型參數存在不確定性時，其控制效果會急劇下降。PD控制器結構簡單，易于工程實現。然而，PD控制器對參數不確定性十分敏感，限制了其實用性。

滑模控制方法以及自適應控制方法可有效地處理系統參數存在不確定性的問題。詳細地來說，傳統的一階滑模控制方法已成功應用于橋式吊車系統中，解決了定位和消擺問題，并取得很好地控制結果。不過，傳統的一階滑模控制方法是不連續的，對驅動裝置帶來潛在的危險并伴隨著震顫現象。并且，以上控制方法僅能保證系統的漸近穩定性，這在高精度要求的運輸任務中是遠遠不夠的；另外，以上控制方法均假設其不確定動力學與系統參數為線性的關系，均需要負載擺角的反饋。

技術實現要素：

本發明的目的就是為了解決上述問題，提出了一種帶有不確定動力學的吊車有限時間軌跡跟蹤控制器及方法，該控制器及方法基于兩個終端滑模觀測器，其中一個觀測器用來估計負載擺角，另一個觀測器用來估計不確定動力學。

為了實現上述目的，本發明采用如下技術方案：

一種帶有不確定動力學的吊車有限時間軌跡跟蹤控制器，包括：

設計第一終端滑模觀測器對負載擺角θ進行估計；設計第二終端滑模觀測器對不確定動力學h進行估計；根據所得到的估計值設計無負載擺角反饋的有限時間軌跡跟蹤控制器如下：

其中，k₀₄∈R⁺為正的控制增益；為臺車速度的估計誤差，為吊車位移的一階導數，為吊車位移一階導數的估計值，為吊車位移二階導數的估計值；p₃,q₃∈R⁺為正的奇數，且有p₃＜q₃；e₃＝x_d-x為臺車的跟蹤誤差，x_d為臺車的目標軌跡；M為臺車質量，m_p為負載質量；為γ₂的估計值，γ₂＝h；f_rx為摩擦力，l為吊繩長度；為負載擺角的估計值，為負載擺角一階導數的估計值，為負載擺角二階導數的估計值；

進一步地，所述第一終端滑模觀測器具體為：

其中，定義輔助函數為p的估計值，p_e為觀測誤差，

k₀₁∈R⁺為正的觀測增益，p₁,q₁∈R⁺為正奇數，且有p₁＜q₁；p_e為觀測誤差，b₁為正常數。

進一步地，所述第二終端滑模觀測器具體為：

其中，定義變量：γ₂＝h；

引入狀態：

關于時間求導：

則：u為不確定動態h關于時間的導數；

以及分別為γ₁和γ₂的估計，k₀₂∈R⁺為正的觀測增益，γ_v＝l₁sgn(e₁),l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺為正的觀測增益，q₂和p₂為正的奇數，且q₂＞p₂。

一種帶有不確定動力學的吊車有限時間軌跡跟蹤控制方法，包括：

(1)假設不確定動力學f關于時間的導數是有界，不確定動力學h關于時間的導數有界，負載擺角θ以及的初始估計與實際值相同；

(2定義關于負載擺角θ的輔助函數p以及求解輔助函數p的觀測誤差p_e，根據觀測誤差p_e設計第一終端滑模觀測器，對負載擺角θ進行估計；使得在有限時間T_o內準確收斂至p，且在有限時間T_o內準確收斂至負載擺角θ；其中為輔助函數p的估計值，為負載擺角θ的估計值；

(3)定義關于不確定動力學h的輔助函數Q以及設計第二終端滑模觀測器，在有限的時間內精確的估計出不確定動力學h；

(4)根據得到的負載擺角θ以及不確定動力學h的估計值，得到無負載擺角反饋的有限時間軌跡跟蹤控制器；

(5)將實際檢測的臺車位移x、臺車速度輸入到上述帶有不確定動力學的吊車有限時間軌跡跟蹤控制器中，輸出驅動臺車運動的力矩F，在系統臺車、負載質量、吊繩長度、摩擦力參數不確定以及存在外部擾動的情況下均能夠在有限時間內實現臺車的精確定位以及吊鉤擺動、負載繞吊鉤擺動的有效抑制與消除。

進一步地，所述步驟(2)中，關于負載擺角θ的輔助函數p具體為:

其中，g為重力加速度，l為吊繩長度，為負載擺角的二階導數。

進一步地，所述步驟(2)中，第一終端滑模觀測器具體為：

其中，k₀₁∈R⁺為正的觀測增益，p₁,q₁∈R⁺為正奇數，且有p₁＜q₁；b₁為正常數。

進一步地，所述步驟(3)中，關于不確定動力學h的輔助函數Q具體為；

對Q關于時間求導得：

其中，f_rx為摩擦力，l為吊繩長度；為負載擺角的估計值，為負載擺角一階導數的估計值，為負載擺角二階導數的估計值；F為施加于臺車上的合力。

進一步地，第二終端滑模觀測器具體為：

其中，定義變量：γ₂＝h；

引入狀態：

則：u為不確定動態h關于時間的導數；

以及分別為γ₁和γ₂的估計，k₀₂∈R⁺為正的觀測增益，γ_v＝l₁sgn(e₁)，l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺為正的觀測增益，q₂和p₂為正的奇數，且q₂＞p₂。

進一步地，所述步驟(4)中，無負載擺角反饋的有限時間軌跡跟蹤控制器具體為：

其中，k₀₄∈R⁺為正的控制增益；為臺車速度的估計誤差，為吊車位移的一階導數，為吊車位移一階導數的估計值，為吊車位移二階導數的估計值；p₃,q₃∈R⁺為正的奇數，且有p₃＜q₃；e₃＝x_d-x為臺車的跟蹤誤差，x_d為臺車的目標軌跡；M為臺車質量，m_p為負載質量；為γ₂的估計值，γ₂＝h；f_rx為摩擦力，l為吊繩長度；為負載擺角的估計值，為負載擺角一階導數的估計值，為負載擺角二階導數的估計值；

進一步地，為抑制并消除負載擺角，期望的臺車軌跡選擇為：

其中，為目標位置；為臺車最大允許加速度以及速度；表示調節初始加速度的參數；κ＞1.0754為正的控制增益。

本發明的有益效果是：

與已有大多數控制方法相比，本發明所提控制器不需要負載擺角的反饋，并解決系統存在的不確定動力學的問題。本發明所提控制方法針對不確定系統參數以及外部擾動具有很強的魯棒性；不需要負載擺角的反饋，更具實際運行價值。本發明所設計控制器可實現有限時間的收斂性。利用Lyapunov方法以及LaSalle不變性原理證明了閉環系統的穩定性與收斂性。仿真結果表明所提控制方法的正確性與有效性。

附圖說明

圖1為橋式吊車系統示意圖；

圖2為利用本發明方法在精確模型參數下得到的控制輸入、負載擺角和臺車軌跡仿真結果圖；

圖3為利用LQR控制器在精確模型參數下得到的控制輸入、負載擺角和臺車軌跡仿真結果圖；

圖4為利用增強耦合非線性控制器在精確模型參數下得到的控制輸入、負載擺角和臺車軌跡仿真結果圖；

圖5為利用PD控制器在精確模型參數下得到的控制輸入、負載擺角和臺車軌跡仿真結果圖；

圖6為利用本發明方法在不確定動力學作用下得到的控制輸入、負載擺角和臺車軌跡仿真結果圖；

圖7為基于運動規劃的自適應控制方法在不確定動力學作用下得到的控制輸入、負載擺角和臺車軌跡仿真結果圖。

具體實施方式：

下面結合附圖與實例對本發明做進一步說明：

本發明提出了一種帶有不確定動力學以及無負載擺角反饋的橋式吊車有限時間軌跡跟蹤控制器及設計方法。具體來說，基于兩個終端滑模觀測器，其中一個觀測器用來估計負載擺角，另一個觀測器用來估計不確定動力學。然后，通過這些估計的信息，提出有限時間軌跡跟蹤控制方法。利用Lyapunov方法以及LaSalle不變性原理證明了閉環系統的穩定性與收斂性。仿真結果表明所提控制方法的正確性與有效性。

1.橋式吊車動力學模型

橋式吊車系統模型如圖1所示，其動力學模型可描述為：

其中，M為臺車質量，m_p表示負載質量，l代表吊繩長度，h和f為不確定動力學，x(t)代表吊車位移，θ(t)表示負載擺角，f_rx為摩擦力，F為施加于臺車上的合力。

實際上，(1)式的不確定動力學h以及(2)式的不確定動力學f是由不確定的臺車質量ΔM、不確定的負載質量Δm_p、不確定的吊繩長度Δl、不確定的摩擦力Δf_rx、外部擾動d₁以及d₂引起的。此時不確定動力學h和f可寫為：

為不失一般性，進行如下的假設：

假設1：不確定動力學f關于時間的導數是有界的，其界限為lb₁，即：

其中，b₁∈R⁺為已知的正常數。

假設2：為促進接下來分析，假設θ以及的初始估計與實際值相同，即：

假設3：不確定動力學h關于時間的導數表示為u。雖然u未知，但其幅值為有界的，即||u||≤π，其中，π∈R+為已知的正常數。

2.無負載擺角反饋的有限時間軌跡跟蹤控制器設計

2.1負載擺角估計

為估計不方便測量的負載擺角，設計了一個終端滑模觀測器。

針對吊車系統，sinθ≈θ,cosθ≈1是成立的。因此，(2)式可寫為：

定義輔助函數p以及分別為其中，為p的估計值，為θ的估計值。p的觀測誤差為：

其中，p_e為觀測誤差。

為估計p，針對帶有不確定動力學f的系統(6)，設計如下形式的終端滑模觀測器：

其中，k₀₁∈R⁺為正的觀測增益，p₁,q₁∈R⁺為正奇數，且有p₁＜q₁，b₁∈R⁺為已知的正常數。

定理1：針對含有不確定動力學f的動力學方程(6)，滑模觀測器(8)可保證在有限時間T_o內準確收斂至p，且在有限時間T_o內準確收斂至θ，其中：

那么，當t≥T_o時，p_e≡0，

證明：選取候選Lyapunov函數為：

對(10)式關于時間求導并將(7)、(8)式代入可得：

將(5)式代入(11)式可得：

p₁、q₁為正的奇數，那么p₁+q₁為偶數，則與此同時，求解(12)式可得：

由(13)式可知，當t≥T₀時，V_O1(t)≡0，其中：

由V_O1(t)≡0可得：

由(15)式以及p、的定義可得：

定義結合假設2，(16)式可寫為：

求解(17)式可得：

α＝0 (18)

由(18)式得：

由(15)、(19)式可知，定理1得證。

2.2不確定動力學h的估計

為保證控制器的高性能，應估計出吊車系統中未確定動態h，并進行有效地補償。為此，設計一個滑模觀測器來估計不確定動力學h。

定義一個輔助函數：對Q關于時間求導可得：

由(19)式可知，當t≥T₀時，引入一個輔助函數E，其表達式為：此時，(20)式可寫為：

為促進接下來滑模觀測器的設計，引入一個新的狀態其表達式為：

其中，k₀₂∈R⁺為正的觀測增益。

對(22)式關于時間求導可得：

那么，對不確定動態h的估計問題就轉換成了對線性增廣系統(23)的狀態估計。其中(23)式中可測量/可求出。假設不確定動態h關于時間的導數為u，并引入兩個新的變量γ₁、γ₂，其表達式為：γ₂＝h。此時，(23)可寫為：

為估計不確定動態h(γ₂)，定義如下形式的終端滑模觀測器：

其中，以及分別為γ₁和γ₂的估計，γ_v＝l₁sgn(e₁),l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺為正的觀測增益，q₂和p₂為正的奇數，且有q₂＞p₂。

定義觀測誤差e為：e＝[e₁ e₂]^T。那么，由(24)-(27)式可得觀測誤差e的動力學方程為：

引理1：在終端滑模觀測器(26)和(27)的作用下，當t≥T₀時，觀測誤差系統(28)和(29)中的觀測誤差e是一致最終有界的。在此過程中，假設γ₁、γ₂在t＝T₀時的估計值與實際值相等，即：

證明：考慮如下形式的Lyapunov函數：

對(30)式關于時間求導，并將(28)、(29)式代入可得：

其中：

由于k₀₂,l₂,l₃為正數，那么β為正定的。因此，β的最小特征值λ_min為正的。

緊接著，(31)式可寫為：

當||e||≠0時，為保證以下條件應滿足：

換句話說，當e不在集合內時，為負。此時，V_O2單調遞減。明顯地，V_O2的遞減最終將驅動e進入集合D內，然后將限制在集合D內。由于即||e(T₀)||＝0，由Lyapunov定理以及LaSalle不變性原理可知，當t≥T₀時，觀測誤差均限制在集合D內。這表明e是一致最終有界的。

定理2：考慮由線性系統(19)、(20)以及終端滑模觀測器(21)、(22)得到的誤差觀測系統(23)、(24)，選擇觀測增益l₁,l₂,l₃,l₄,l₅使得：

l₅-π＞0 (35)

在有限的時間內可精確的估計出不確定動力學h。

證明：此過程包括如下兩方面的證明。

1)e₁的有限時間收斂性

考慮如下形式的Lyapunov函數：

對(36)式關于時間求導，并將(28)式代入可得：

針對||e₁||≠0，為保證選擇：

為保證(38)式成立，選擇：

求解(39)式可得：

那么，

成立。

對(41)式關于時間積分，可得：

由(42)式可知，當t＝T₁時：

由(28)式可得：

2)e₂的有限時間收斂性：當t≥T₁時，且有：

為完成定理2的證明，考慮如下形式的正定標量函數：

對(45)式關于時間求導，并將(35)、(44)式代入可得:

求解(46)式可得:

由(47)式可得，當t＝T₂時：

||e₂||＝0。換句話說，不確定動態可在有限時間T₂內，由精確估計出不確定動力學h。

2.3無負載反饋的有限時間軌跡跟蹤控制器

為完成軌跡跟蹤控制器的設計，定義如下形式的臺車位移估計表達式：

其中，k₀₃,δ₀∈R⁺為正的增益，p₃,q₃∈R⁺為正的奇數，且有p₃＜q₃，e₃＝x_d-x為臺車的跟蹤誤差，x_d為臺車的目標軌跡，

因此，無負載擺角反饋的有限時間軌跡跟蹤控制器設計為：

其中，為臺車速度的估計誤差，k₀₄∈R+為正的控制增益。

定理3：所提跟蹤控制器(50)以及終端滑模觀測器(8)、(26)、(27)可保證臺車軌跡在有限時間內收斂至期望軌跡。

證明：由e₃，e₄的定義可得：

由(49)、(51)式可知：

另一方面，由(1)式可得:

為證明定理3，選擇如下的Lyapunov候選函數：

對(54)式關于時間求導，并將(50)、(51)、(53)式代入可得:

由定理1可知，當t≥T₀時，由定理2可知，當t≥T₂時，其中：T₂≥T₀。那么，(55)式可寫為:

經過有限時間T₂后，(49)式可簡化為:

其中:

求解(50)式可得:

因此，有(58)式可知，當t≥T₃時，e₃≡0，e₄≡0，其中:

這表明，臺車的跟蹤誤差e₃在有限的時間T₃內收斂至0。

備注1：為抑制并消除負載擺角，期望的臺車軌跡x_d選擇為

其中，為目標位置；為臺車最大允許加速度以及速度；表示調節初始加速度的參數；κ＞1.0754為正的控制增益。

臺車期望的目標軌跡(由(60)式表示)由兩部分組成：

(i)定位參考軌跡x_d1：驅動臺車至目標位置；

(ii)消擺部分x_d2：快速消除負載擺動并不影響臺車的定位性能。

3.數值仿真

為驗證所提控制方法的正確性與有效性，進行如下兩組仿真實驗。詳細地來說，在第一組仿真實驗中，通過對比LQR控制器，增強耦合非線性控制器，PD控制器，驗證所提控制方法控制性能的優異性。在第一組組實驗中，由于LQR控制器，增強耦合非線性控制器，PD控制器均是基于精確動力學的情況下提出的，所以h和f設為0。第二組仿真實驗將驗證所提控制方法針對不確定動力學的魯棒性，并與基于運動規劃的自適應跟蹤控制器進行對比。

LQR控制器、增強耦合非線性控制器、PD控制器以及基于運動規劃的自適應跟蹤控制器的表達式如下：

1)LQR控制器

其中，為控制增益。

2)增強耦合非線性控制器

其中，為正的控制增益，ξ_x為如下的輔助函數：

3)PD控制器

其中，k_p,k_d∈R⁺為正的控制增益。

4)基于運動規劃的自適應跟蹤控制器

其中，為正的控制增益，r＝x-x_d1為臺車跟蹤誤差，為參數向量的在線估計，由以下更新率產生：

其中，Γ為正定對稱對角更新增益矩陣。

仿真1：精確模型參數下控制性能的驗證：在本組實驗中，吊車系統參數的實際值與名義值是相同的，設為：

M＝7kg,m_p＝1kg,l＝0.6m,h＝f＝0

摩擦力具有如下形式：

臺車目標位置為：

p_d＝1m

期望的臺車軌跡(60)的各個參數設為：

k_a＝0.5,k_v＝0.5,ε＝2,κ＝4

本發明所設計控制器、LQR控制器、增強耦合非線性控制器、PD控制器的控制增益見表1。

表1.仿真1控制增益

本發明所設計控制器、LQR控制器、增強耦合非線性控制器以及PD控制器的仿真結果如圖2-5所示。通過對比圖2與圖3-5可知，在相似的運輸時間下(5s內)，所提控制方法的最大負載擺角以及驅動力是這四種控制方法中最小的。這些結果表明了所提控制方法控制性能的優異性。

仿真2：不確定動力學作用下控制性能的驗證：在本組實驗中，吊車系統參數的名義值設置為：

M＝12kg,m_p＝9kg,l＝0.7m

臺車質量、負載質量以及吊繩長度的實際值分別為：14kg、10kg、1.0m。那么，下式可得：

ΔM＝2kg,Δm_p＝1kg,Δl＝0.3m

摩擦力的名義值和仿真1的相同，其實際值為：

為模擬外部擾動，將正弦擾動d₁以及隨機擾動d₂施加于吊車系統中，其幅值均為10。

臺車的目標位置設置為：

p_d＝1m

期望目標軌跡(60)的參數和仿真1中的相同。

本發明所設計控制器以及基于運動規劃的自適應控制器的控制增益見表2。

表2仿真2控制增益

圖6-7所示為所提控制方法與基于運動規劃的自適應控制方法在存在不確定動力學的仿真結果。由圖6-7可知，不確定動力學對所提控制方法的跟蹤控制性能影響不大。然而，當存在不確定動力學時，基于運動規劃的自適應控制方法的控制性能大打折扣。由圖6可知，估計的負載擺角的曲線幾乎與負載擺角的實際曲線相同，這表明針對負載擺角設計的終端滑模觀測器的正確性。這些優點為本發明所提控制方法的實際應用帶來了便利。

上述雖然結合附圖對本發明的具體實施方式進行了描述，但并非對本發明保護范圍的限制，所屬領域技術人員應該明白，在本發明的技術方案的基礎上，本領域技術人員不需要付出創造性勞動即可做出的各種修改或變形仍在本發明的保護范圍以內。