二重隨機跳變系統的有限短時間控制方法
【專利摘要】二重隨機跳變系統的有限時間控制方法，涉及多重隨機跳變系統的多重概率描述以及隨機系統在有限短時間內的暫態性能控制。首先，用高斯概率密度函數來描述二重隨機跳變系統的概率隨機分布特性；其次，通過放寬對系統李雅普諾夫能量函數在采樣時刻嚴格遞減的條件，定義新的二重隨機跳變過程在各模態下有限短時間穩定性定義；再次，針對系統的能量有界干擾設計控制器，使得閉環系統的過程軌跡在平衡點的一定范圍內受限運動，從而放棄對漸進穩定的要求。本發明針對生產實際要求的短時間工作系統，考慮二重隨機跳變現象，通過放寬對系統能量函數的要求，從時間角度為降低一般漸進穩定的工程保守性提供了思路。
【專利說明】二重隨機跳變系統的有限短時間控制方法
【技術領域】
[0001] 本發明涉及一種隨機跳變系統的有限時間控制方法，特別是針對二重隨機跳變過 程的有限短時間控制方法，該方法可用于生化系統、網絡系統、機器人系統、通信系統、經濟 系統、航空航天等領域。
【背景技術】
[0002] 長期以來控制理論關注的是系統在無限時域的穩定特性，但在工程系統中，暫態 特性可能更顯重要。一方面，一個漸進穩定的系統并不意味著良好的過度特性，有時甚至出 現劇烈震蕩，無法滿足工業生產要求；另一方面，很多實際系統，例如生化系統、經濟系統、 機器人系統等短時間工作系統，人們除了關注其在無限時域的漸進穩定，更感興趣的常常 是其能否在有限短時間內滿足暫態要求。為此，Dorato于1961年提出了有限短時間穩定 的概念，進而分析了系統的有限時間控制問題，該思想的出發點是在生產實際要求的短時 間內，設法使系統狀態軌跡在平衡點的一定范圍內受限運動，從而放棄對漸進穩定的要求。 本質上，這是從時間的角度，為降低一般漸進穩定的工程保守性提供了思路，不難看出，工 程背景下的有限時間穩定問題具有普遍研究價值。
[0003] 最初，有限時間穩定問題針對線性系統提出，隨后有限時間穩定被推廣到存在擾 動的非線性系統中，提出了有限時間BIBO穩定概念，1966年Kushner研究了隨機系統的有 限時間穩定。其后，有限時間控制得到了廣泛研究。1974年Filippo等人提出有限時間條 件下最優線性二次型魯棒控制器設計；1997年Drato等人將線性矩陣不等式引入到有限時 間分析與設計中，給出了線性系統狀態反饋有限時間控制律。隨著研究工作的深入，Amato 等分別給出了基于有限時間穩定的極點配置、動態和靜態輸出反饋等設計方法。后來，線性 系統研究成果借助于反饋線性化應用到非線性系統，奇異系統、Markov跳變系統也同樣得 到了學者的廣泛關注。
【發明內容】
[0004] 本發明要解決的技術問題是：針對實際工程過程中存在的短時間工作系統以及二 重隨機跳變過程，用高斯過程來描述跳變系統的二重隨機跳變特性，考慮外部干擾能量有 界，提供一種基于高斯概率密度函數的有限短時間控制方法，使得系統狀態軌跡在平衡點 的一定范圍內受限運動，從時間角度為降低一般漸進穩定的工程保守性提供了方法。
[0005] 本發明的技術解決方案為：首先，針對二重隨機跳變系統，用高斯隨機分布來描述 跳變系統的二重隨機跳變特性；其次，從能量角度，通過允許系統的李雅普諾夫能量函數在 采樣時刻遞增，定義跳變系統各模態下新的有限短時間穩定性定義；再次，假設外部干擾能 量有界，設計控制器使得二重跳變下的各模態狀態軌跡在平衡點的一定范圍內受限運動并 具有干擾抑制能力，具體步驟如下：
[0006] (1)二重隨機跳變過程描述：
[0007] a.對二重隨機跳變過程構造跳變系統模型；
[0008] b.用高斯隨機分布來描述隨機跳變過程的二重跳變特性；
[0009] c.建立二重隨機跳變過程轉移概率密度函數矩陣；
[0010] (2)二重隨機特性下各子系統有限短時間穩定性定義：
[0011] a.給出各模態下的初始狀態的受限空間；
[0012] b.根據初始空間，結合軌跡要求，通過新的李雅普諾夫能量函數條件，定義二重隨 機跳變過程在各模態下有限短時間穩定性定義；
[0013] (3)基于二重隨機跳變概率的有限短時間控制器設計：
[0014] a.利用系統的狀態信息，構造狀態反饋控制器，并代入（1)中構造的模型得到閉 環控制系統；
[0015] b.充分利用閉環控制系統的狀態信息，選取李雅普諾夫泛函；
[0016] c.基于新的李雅普諾夫能量函數條件設計控制器，利用二重隨機過程的跳變轉 移概率矩陣信息，獲取閉環跳變系統在有限短時間內各模態的狀態軌跡受限運動的充分條 件；
[0017] d.根據上述方法，結合線性矩陣不等式技術，求取控制器的增益；
[0018] 本發明針對實際工程應用中普遍存在的二重隨機跳變系統以及短時間工作系統， 首次設計控制器使得閉環跳變系統有限短時間穩定的同時還要具有干擾抑制能力，與現有 技術相比的優點在于：
[0019] 1.本發明用高斯概率密度函數對二重隨機跳變過程進行描述，具有實際意義。
[0020] 2.本發明通過允許李雅普諾夫能量函數在采樣時刻遞增，定義了新的二重隨機跳 變過程確保各子系統有限短時間穩定的定義。
[0021] 3.本發明利用線性矩陣不等式技術設計控制器，一方面不僅計算簡單，便捷可行， 另一方面，不僅能夠使系統的狀態軌跡在平衡點的一定范圍內受限運動，而且能針對所有 頻段的外部干擾信號具有干擾抑制能力。
[0022] 4.本發明設計的控制器還可以應用到不確定系統、時滯系統等復雜工業過程，具 有普適性。
【專利附圖】
【附圖說明】
[0023] 圖1二重隨機跳變過程模態圖
[0024] 圖2系統狀態軌跡響應曲線圖
【具體實施方式】
[0025] 下面結合附圖所示實施例，對本發明作進一步詳細描述。
[0026] 需要強調的是，本發明涉及的技術并不僅適用于下面提及的例子，這些技術可以 被用于任何適用的隨機跳變控制系統。
[0027] 本發明基于二重隨機跳變過程的有限短時間控制，包括以下步驟：
[0028] (1)二重隨機跳變過程描述
[0029] (2)二重隨機特性下各子系統有限短時間穩定性定義
[0030] (3)基于二重隨機跳變概率的有限短時間控制器設計
[0031] (4)仿真實驗驗證
[0032] 下面介紹具體步驟：
[0033] (1)二重隨機跳變過程描述
[0034] 考慮如下一類離散跳變系統：
[0035] X (k+1) =A (rk) x (k) +B (rk) u (k) +Bw (rk) w (k)
[0036] z (k) =C (rk) x (k) +D (rk) u (k) +Dw (rk) w (k)
[0037] x (k) = x〇, rk = r〇, k = 0
[0038] 其中，x(k) e Rn是系統的狀態向量；u(k) e Rm是系統的控制向量； vv(幻e/:〃[0 +00)是外部擾動信號；z(k) e R1是系統的被控輸出；A(rk)，B(rk)，Bw(r k)， C(rk)，D(rk)，Dw(rk)分別為已知的與模態r k相關的適當維數的系數矩陣，其中rk表示系統 的模態，為在有限集合M = {1，2, ...，s}中隨時間k取值的二重隨機跳變過程，其跳變轉 移概率定義如下：
[0039] Kf] =Pr(rk =j\rkA=i, k)
[0040] 式中表示從模態i跳變到模態j的轉移概率。為了方便起見，當rk = i時，分 別用 Ai，Bi，Bwi，Ci，Di，D wi 表征 A (rk)，B (rk)，Bw (rk)，C (rk)，D (rk)，Dw (rk)。
[0041] 不失一般性，用高斯隨機分布{ ξ k，k e K}來描述二重隨機跳變過程的連續時變 特性，其受限高斯概率密度函數表征為：
【權利要求】
1.二重隨機跳變系統的有限短時間控制方法，其特征在于，所述方法包括以下步驟： (1) 二重隨機跳變過程描述 考慮如下一類離散跳變系統 X(k+1)=A(rk)x(k)+B(rk)u(k) +Bw (rk)w(k)z(k)=C(rk)x(k)+D(rk)u(k) +Dw (rk)w(k) x(k) =x〇,rk =r〇,k= 〇 其中，x(k)eRn是系統的狀態向量；u(k)eRm是系統的控制向量；u'(A)e/〗"[0 +co) 是外部擾動信號；z(k)eR1 是系統的被控輸出；A(rk)，B(rk)，Bw(rk)，C(rk)，D(rk)，Dw(rk) 分別為已知的與模態rk相關的適當維數的系數矩陣，其中rk表示系統的模態，為在有限集 合M= {1，2, ...，s}中隨時間k取值的二重隨機跳變過程，其跳變轉移概率定義如下：
式中;rf1表示從模態i跳雙到悮態j的轉栘概率。為J萬便起見，當rk =i時，分別用 Ai,Bi,Bwi,Ci,Di,Dwi 表征A(rk),B(rk),Bw(rk),C(rk),D(rk),DwCrk)。 不失一般性，用高斯隨機分布{ξk，keK}來描述二重隨機跳變過程的連續時變特性， 其受限高斯概率密度函數表征為：
式中f( ·)為高斯概率密度函數的標準分布；F( ·)為f( ·)的累積分布函數，μu和 〇u為轉移概率矩陣中各元素的高斯概率密度函數的均值和方差信息。基于上述描述，轉 移概率密度函數矩陣可表達為下式：
其中》(/?, %)=1)為；rf1的受限高斯概率密度函數。 (2) 二重隨機特性下各子系統有限短時間穩定性定義： 定義：設u(k) = 0以及w(k) = 0,被控二重隨機跳變系統的各子系統是關于（C1C2N Ri)有限時間穩定的，其中C1是初始空間，C2是受限空間，且滿足C1 <c2,Ri > 0,N為要求 的時間常數，如果下列條件成立：
對于上述定義，如果考慮系統受到外部干擾的影響，并假設干擾信號能量有界，則對于u(k) =0,被控系統的各子系統是關于（C1C2NRid)有限時間有界的，其中d為未知輸入 信號的上界，如果對于滿足能量有界的干擾信號，均有上述條件成立。 同樣，如果對于上述定義，使用狀態反饋控制，則被控系統的各子系統是關于（C1C2N Rid)有限時間可鎮定的，如果對于滿足能量有界的干擾信號，均有上述條件成立。 上述有限時間穩定的定義與Lyapunov意義下的漸進穩定是兩個不同的概念，兩者并 無直接的關聯，系統Lyapunov意義下的穩定并不能確保有限時間穩定；同樣，有限時間穩 定也不能保證Lyapunov漸進穩定。 (3)基于二重隨機跳變概率的有限短時間控制器設計： a. 針對第（1)步中構造的二重隨機跳變系統，設計如下的狀態反饋控制器 u(k) =-K(rk,ξk)X(k) 其中&sAfO1,A)為待求控制器增益。將上式帶入原系統，可以得到如下的閉環控制 系統：
苴中；?.=-漢/C'，f=C-DK-。 Z、I I I I I,L,^. I I I七k b. 選取李雅普諾夫泛函V(xk，rk，ξ,) =xTP(rk，ξ,)χ，其中' 石）為依賴于模 態和高斯分布的對稱正定矩陣。 c. 通過放寬對系統李雅普諾夫能量函數的要求：
并基于有限穩定性定義，通過從k時刻到初始時刻的遞推，使系統狀態軌跡限定在給 定范圍。 d. 結合隨機跳變理論，獲取控制器存在的充分條件。
2. 根據權利要求1所述的二重隨機跳變系統的有限短時間控制方法，其特征在于，所 述方法通過放寬對李雅普諾夫能量函數的要求，即不要求李雅普諾夫能量函數在采樣時刻 嚴格遞減，允許其有所遞增，達到減小所得結果保守性的目的。
3. 根據權利要求1所述的二重隨機跳變系統的有限短時間控制方法，其特征在于，所 述方法用高斯分布過程描述跳變系統的二重隨機跳變特性，直接利用高斯概率密度函數的 均值和方差信息設計控制器，進一步降低了所得結果的保守性。
4. 根據權利要求1所述的二重隨機跳變系統的有限短時間控制方法，其特征在于，所 述方法根據初始空間，結合軌跡要求，通過新的李雅普諾夫能量函數條件，定義了二重隨機 跳變系統過程在各模態下有限短時間穩定的定義。
5. 根據權利要求1所述的二重隨機跳變系統的有限短時間控制方法，其特征在于，所 設計的有限時間控制器能使二重隨機跳變系統各模態狀態軌跡在有限短時間內受限運動， 并對所有頻段的外部干擾信號具有一定的干擾抑制能力。
【文檔編號】G05B13/04GK104238364SQ201410491448
【公開日】2014年12月24日 申請日期:2014年9月23日 優先權日:2014年9月23日
【發明者】欒小麗, 陳飛, 劉飛 申請人:江南大學