專利名稱：非線性微分黃金分割自適應控制方法
技術領域：
本發明涉及一種自適應控制方法，特別是基于特征模型的非線性微分黃金分割自適應控制方法。
背景技術：
為了對高階復雜對象設計低階控制器，文獻“特征建模與撓性結構的控制”(中國科學E輯，2001，31(2)P137-149，吳宏鑫等)針對線性定常系統提出了特征建模的方法，即結合對象的動力學特征和控制性能要求進行建模。該文獻指出，對于高階定常系統的低階特征模型，其參數是慢時變的。在采樣周期滿足一定條件下，對于參數未知、線性定常或慢變的二階對象，文獻“黃金分割在自適應魯棒控制器設計中的應用”(自動化學報，1992，18(2)P177-185，解永春，吳宏鑫)已證明線性黃金分割自適應控制器可以保證控制系統在起動過程中的穩定性和良好的過渡特性，但對動態過程中的不同性能要求，線性黃金分割自適應控制器無法滿足，為此，文獻“非線性黃金分割自適應控制”(宇航學報，2002，23(6)P1-8.吳宏鑫，王穎，解永春)針對空間交會對接過程中的常值跟蹤問題，基于特征模型設計了一種比例系數為非線性的黃金分割自適應控制器。當跟蹤信號不是常值，該文中的非線性比例黃金分割控制器不能滿足要求。中國專利00132495.0，“一種基于對象特征模型描述的黃金分割智能控制方法”中介紹了一種基于特征模型的控制方法，該方法中的智能控制器中也包含線性黃金分割自適應控制律，并且這種方法復雜，不適用于跟蹤快變信號和具有突變斜率的信號。宇航學報，1998，19(1)P8-12，“載人飛船全系數自適應再入升力控制”一文中主要介紹了一種基于特征模型的全系數自適應控制方法，該方法只是上面所述專利00132495.0中的一種具體應用實例。需要指出的是，上述所有文獻的特征建模都是針對線性定常系統的，對于線性實變系統來講，其特征建模要比定常系統復雜得多。
發明內容
本發明的技術解決問題是克服現有技術的不足，提供一種針對線性時變系統進行特征建模、采用非線性微分黃金分割的自適應控制方法，該方法能夠實現對快變信號和具有突變斜率信號的跟蹤。
本發明的技術解決方案是非線性微分黃金分割自適應控制方法，包括下列步驟 (1)針對單輸入單輸出線性時變系統建立特征模型； (2)針對所述的特征模型，構造非線性微分黃金分割自適應控制律； (3)對該控制律作用于特征模型組成的閉環系統進行穩定性分析，確定閉環系統的穩定性條件。
所述步驟(1)中單輸入單輸出線性時變系統為 其對應的特征模型為 y(k+1)＝α1(k)y(k)+α2(k)y(k-1)+β(k)u(k)+β1(k)u(k-1) 其對應的特征模型在工程上為 y(k+1)＝α1(k)y(k)+α2(k)y(k-1)+β(k)u(k) 其中， t為連續時間變量； k為連續時間變量t的第k步離散值； y為單輸入單輸出線性時變系統的輸出；
為y的一階導數； y(n)為y的第n階導數； y(k)為y的第k步離散值； α1(k)＝2+(a0(k)-a0(k-1))ΔT+a0(k)ΔT-ΔT+a0(k)ΔT2； α2(k)＝-1-a0(k)ΔT+ΔT； β(k)＝(b(k)-b(k-1))ΔT+b(k)ΔT+b(k)ΔT2； β1(k)＝-b(k)ΔT； a0(t)，b(t)為單輸入單輸出線性時變系統方程系數； a0(k)，b(k)分別為a0(t)，b(t)的第k步離散值； u(t)為單輸入單輸出線性時變系統輸入變量； u(k)為u(t)的第k步離散值； ΔT為采樣周期。
所述步驟(2)中的非線性微分黃金分割自適應控制律為 所述步驟(3)中的閉環系統形式如下 y(k+1)+f1(k)y(k)+f2(k)y(k-1)＝0 其中，L1＝0.382，L2＝0.618為黃金分割系數； y為單輸入單輸出線性時變系統輸出變量； y(k)為y的第k步離散值； η1，η2為非負常數，μ為常數，其取值滿足步驟(3)中的穩定性條件；
和
為特征模型對應系數α1(k)、α2(k)、β(k)的估計值。
L1＝0.382，L2＝0.618為黃金分割系數。
所述步驟(3)中閉環系統的穩定性條件為 (a)f1(k)的變化率滿足 (b)
和
的變化率滿足 其中， Δf1(k)＝f1(k+1)-f1(k)，Δf2(k)＝f2(k+1)-f2(k)，
N1(k)＝-2p12(k+1)-2[p12(k+1)f2(k+1)-p22(k+1)f1(k+1)f2(k+1)] 0<δ1<δ2，0<δ11，0<δ22，0<δ<δ11δ22，M1為|f1(k)|的上界。
本發明與現有技術相比有益效果為 (1)本發明針對線性實變系統進行特征建模、采用非線性微分黃金分割自適應控制方法，克服了反饋線性化方法要求精確獲得對象模型的缺點，并且與現有的線性黃金分割和非線性比例黃金分割控制方法相比，本發明能夠實現對具有突變斜率信號的跟蹤，見圖2～6。
(2)本發明基于特征模型的非線性微分黃金分割自適應控制方法比線性黃金分割自適應控制方法和的非線性比例黃金分割自適應控制方法具有更快的跟蹤速度和更小的超調量，見圖4～6。
圖1為本發明方法應用過程流程圖； 圖2為本發明實施例1中對參考阻力加速度的跟蹤曲線； 圖3為與圖2相對應的跟蹤誤差曲線； 圖4為本發明對方波的跟蹤曲線； 圖5為線性黃金分割自適應控制器對方波的跟蹤曲線； 圖6為非線性比例黃金分割自適應控制器對方波的跟蹤曲線。
具體實施例方式 本發明非線性微分黃金分割自適應控制方法，具體步驟如下 (1)針對單輸入單輸出線性時變系統建立特征模型； (2)針對所述的特征模型，構造非線性微分黃金分割自適應控制律； (3)對該控制律作用于特征模型組成的閉環系統進行穩定性分析，確定閉環系統的穩定性條件。
下面具體介紹上述步驟中各步的實現及推導過程 1、單輸入單輸出線性時變系統的特征模型 步驟(1)中的特征建模過程如下 對單輸入單輸出線性時變系統(方程1)進行特征建模 其中，u(t)為輸入變量，y為輸出變量。假設方程(1)中的系數ai(t)，b(t)均有界，y及其各階導數有界。由方程(1)可得 式中， 方程(2)兩邊對時間求導得 對方程(2)兩邊進行差分得 對方程(3)兩邊進行差分得 將方程(4)和(5)兩邊相加整理得 y(k+1)＝[2+(a0(k)-a0(k-1))ΔT+a0(k)ΔT-ΔT+a0(k)ΔT2]y(k) +[-1-a0(k)ΔT+ΔT]y(k-1)+[(b(k)-b(k-1))ΔT+b(k)ΔT+b(k)ΔT2]u(k) +[-b(k)ΔT]u(k-1)+F(k)ΔT2+[F(k)-F(k-1)]ΔT (6) 令 α1(k)＝2+(a0(k)-a0(k-1))ΔT+a0(k)ΔT-ΔT+a0(k)ΔT2； α2(k)＝-1-a0(k)ΔT+ΔT； β(k)＝(b(k)-b(k-1))ΔT+b(k)ΔT+b(k)ΔT2； β1(k)＝-b(k)ΔT； W(k)＝F(k)ΔT2+[F(k)-F(k-1)]ΔT 若要實現恒值控制，在穩態時，由于F(k)是y的各階導數的線性組合，則F(k)＝F(k-1)＝0，因此W(k)＝0。在動態過程中，由于方程(1)中的各系數和y的各階導數均有界，則F(k)和F(k-1)有界，于是，可設｜F(k)｜<K(K為正常數)，故｜W(k)｜≤2KΔT+KΔT2，當ΔT→0時，W(k)→0，因此W(k)可看作動態過程中的建模誤差。由此可得到方程(1)的特征模型為 y(k+1)＝α1(k)y(k)+α2(k)y(k-1)+β(k)u(k)+β1(k)u(k-1) (7) 工程上一般可取特征模型為 y(k+1)＝α1(k)y(k)+α2(k)y(k-1)+β(k)u(k) (8) 由W(k)的表達式可知，采樣周期越小，則動態過程中的建模誤差越小。給定ε>0，取0<ΔT<δ，δ＝min{1，ε/(3K)}，則 ｜W(k)｜≤2KΔT+KΔT2＝(2K+KΔT)ΔT<(2K+K)ε/(3K)＝ε 從以上推導過程可知，當采樣周期滿足0<ΔT<δ時，特征模型的建模誤差小于ε，因此，特征模型與原系統是等價的，即在相同的輸入作用下，特征模型的輸出與實際對象的輸出在穩態情況下相等，在動態情況下誤差保持在允許范圍內，故特征模型反映了系統的特性。
2、控制律設計 步驟(2)中的非線性微分黃金分割自適應控制律為 其中，L1＝0.382，L2＝0.618為黃金分割系數，η1，η2為非負常數，μ為常數，其取值滿足步驟(3)中的穩定性條件，
和
為步驟(1)中特征模型對應系數α1(k)、α2(k)、β(k)的估計值，可采用任何一種估計算法確定，如梯度算法，或遞推最小二乘法。(參見《最優狀態估計與系統辨識》，王志賢編著，西北工業大學出版社，2004) 3、閉環系統穩定的充分條件 步驟(3)中的閉環系統形式如下 y(k+1)+f1(k)y(k)+f2(k)y(k-1)＝0 (10) 其中， 將閉環系統(10)寫為狀態空間的形式 Y(k+1)＝A(k+1)Y(k) (11) 其中， Y(k)＝[y(k)y(k+1)]T 首先選取李亞普諾夫函數為 V(k)＝YT(k)P(k)Y(k) 其中， 0<δ1<δ2， M1為|f1(k)|的上界。
則 ΔV(k)＝-YT(k)[P(k)-AT(k+1)P(k+1)A(k+1)]Y(k)(12) 令 Q(k)＝P(k)-AT(k+1)P(k+1)A(k+1) (13) 則 假設系數α1(k)，α2(k)，β0(k)及估計值
屬于有界閉凸集，假設和|y(k)|μ<M，M>0為常數，那么f1(k)和f2(k)有界。
由于f1(k)和f2(k)均有界，則P(k)的各元素均有界，Q(k)的各元素均有界。
其次，證明P(k)是一致有界且正定的矩陣。
P(k)的一階順序主子式 P(k)的二階順序主子式 根據式(14)和式(15)，矩陣P(k)的一階順序主子式
和二階順序主子式
均大于正的小常數。由于P(k)的各元素均有界，則
和
有界。那么可以判定P(k)是一致有界且正定的矩陣。
第三步證明Q(k)是一致有界且正定的矩陣。
定義 Δf1(k)＝f1(k+1)-f1(k) Δf2(k)＝f2(k+1)-f2(k) 0<δ11，0<δ22，0<δ<δ11δ22， 則 當
滿足(18)，
滿足(19)時，則q11(k)>δ11，q22(k)>δ22。
Q(k)的一階順序主子式 MQ1＝q11(k)>δ11 (20) Q(k)的二階順序主子式 其中 N1(k)＝-2p12(k+1)-2[p12(k+1)f2(k+1)-p22(k+1)f1(k+1)f2(k+1)] (22) 二次多項式-[p12(k)-p12(k+1)]2+N1(k)[p12(k)-p12(k+1)]+N0(k)的判別式為 取ε＝4δ，0<δ<δ11δ22，則Δ(k)>ε。
當式(25)成立，即式(26)成立時，由文獻“四階時變離散系統的一致漸近穩定性”(控制理論與應用，2006，23(6)P845-852，孫多青，吳宏鑫)中的定理知 根據式(21)和式(28)，矩陣Q(k)的一階順序主子式
和二階順序主子式
均大于正的小常數。由于Q(k)的各元素均有界，則
和
有界，由此可以判定Q(k)是一致有界且正定的矩陣。
綜上所述，可以得出閉環系統(10)在以原點為平衡位置處一致漸近穩定的充分條件為 (a)f1(k)的變化率滿足 (b)
和
的變化率滿足 其中， 0<δ1<δ2，0<δ11，0<δ22，0<δ<δ11δ22，M1為|f1(k)|的上界，Δf1(k)＝f1(k+1)-f1(k)，Δf2(k)＝f2(k+1)-f2(k)， N1(k)＝-2p12(k+1)-2[p12(k+1)f2(k+1)-p22(k+1)f1(k+1)f2(k+1)] 圖1為本發明方法應用的流程圖，其具體應用過程如下 第一步，將整個應用系統的參考輸入yr(k)與系統輸出yout(k)作差，作為非線性微分黃金分割自適應控制器的輸入y(k)，根據第k步的參數估計值
和
按照公式(9)得到非線性微分黃金分割自適應控制器的輸出u(k+1)； 第二步，將該輸出值u(k+1)作為被控對象的輸入得到系統下一時刻的輸出yout(k+1)； 第三步，通過u(k+1)與yout(k+1)進行參數估計，得到特征模型在k+1時刻的參數估計值
和
令k＝k+1，循環執行第一步到第三步，直至控制結束。
實施例1 下面針對再入飛行器結合上述說明詳細介紹本發明的方法。
首先根據再入飛行器的阻力加速度方程確定阻力加速度的攝動方程。阻力加速度動力學方程 其中aD＝ρSCDv2/(2m)為阻力加速度，v為速度，r為飛行器質心到地心的距離，g為重力加速度，hs為一常數，CD為阻力系數，ρ為大氣密度，m為飛行器的質量，s為飛行器的參考面積，控制輸入u為鉛垂面內的升阻比。
定義偏離參考軌道的小偏差量為下標0表示各量對應于參考軌道的取值。對阻力加速度動力學方程兩邊取變分獲得攝動方程，公式如下 其中， (1)針對所述的攝動方程建立特征模型； 以u(k)＝δu(k)作為輸入，y(k)＝δaD(k)作為輸出，按照步驟(1)建立特征模型為 y(k+1)＝α1(k)y(k)+α2(k)y(k-1)+β(k)u(k) 其中， α1(k)＝2+a1(k)ΔT+a0(k)ΔT2 α2(k)＝-1-a1(k)ΔT β(k)＝b(k)ΔT2 ΔT為采樣周期 (2)針對步驟(1)的特征模型，構造非線性微分黃金分割自適應控制律，具體如下 其中，L1＝0.382，L2＝0.618為黃金分割系數；η1＝1，η2＝50，μ＝1。
和
為步驟(1)中特征模型對應系數的估計值，估計方法采用梯度投影算法。
(3)對該控制律作用于特征模型組成的閉環系統進行穩定性分析，得出的結論是在上述控制律的作用下，該閉環系統是穩定的。
圖2、3為本發明應用到再入飛行器跟蹤分段線性的參考阻力加速度的結果，從圖中可以看出，本發明能夠很好的跟蹤具有突變斜率的信號，本例中對參考阻力加速度的最大跟蹤誤差為|ΔaD|＝0.52m/s2。
實施例2 范德堡方程 其中，m＝2，c＝3，k＝4，b＝1，要求y(t)跟蹤頻率為100HZ的方波信號yr(t)，采用本發明設計控制器實現對參考信號yr(t)的跟蹤。具體實現過程如下 定義偏離參考曲線的小偏差量為δu＝u(t)-ur(t)。
下標r表示各量對應于參考曲線的取值。對范德堡方程兩邊取變分獲得攝動方程，公式如下 其中， (1)對上述攝動方程建立特征模型 以u(k)＝δu(k)作為輸入，y(k)＝δy(k)作為輸出，按照步驟(1)建立特征模型為 y(k+1)＝α1(k)y(k)+α2(k)y(k-1)+β(k)u(k) 其中， α1(k)＝2+a1(k)ΔT+a0(k)ΔT2 α2(k)＝-1-a1(k)ΔT β(k)＝b0(k)ΔT2 ΔT為采樣周期 (2)構造非線性微分黃金分割自適應控制律，過程同前對圖1的介紹；其自適應控制律具體如下 其中，L1＝0.382，L2＝0.618為黃金分割系數；η1＝10，η2＝0.1，μ＝-0.1。
和
為步驟(1)中特征模型對應系數的估計值，估計方法采用梯度投影算法。
(3)分析閉環系統的穩定性，通過驗證證明該閉環系統是穩定的； 圖4為本發明設計的控制器對方波的跟蹤情況，圖6為現有的線性黃金分割控制器的跟蹤情況，圖7為現有的非線性比例黃金分割控制器的跟蹤情況，通過比較圖4、5和6可知，本發明比線性黃金分割自適應控制方法和的非線性比例黃金分割自適應控制方法具有更快的跟蹤速度和更小的超調量。
本發明未詳細說明部分屬本領域技術人員公知常識。
權利要求
1、非線性微分黃金分割自適應控制方法，其特征在于包括下列步驟
(1)針對單輸入單輸出線性時變系統建立特征模型；
(2)針對所述的特征模型，構造非線性微分黃金分割自適應控制律；
(3)對該控制律作用于特征模型組成的閉環系統進行穩定性分析，確定閉環系統的穩定性條件。
2、根據權利要求1所述的非線性微分黃金分割自適應控制方法，其特征在于所述步驟(1)中單輸入單輸出線性時變系統為
其對應的特征模型為
y(k+1)＝α1(k)y(k)+α2(k)y(k-1)+β(k)u(k)+β1(k)u(k-1)
其中，
t為連續時間變量；
k為連續時間變量t的第k步離散值；
y為單輸入單輸出線性時變系統的輸出；
為y的一階導數；
y(n)為y的第n階導數；
y(k)為y的第k步離散值；
α1(k)＝2+(a0(k)-α0(k-1))ΔT+a0(k)ΔT-ΔT+a0(k)ΔT2；
α2(k)＝-1-a0(k)ΔT+ΔT；
β(k)＝(b(k)-b(k-1))ΔT+b(k)ΔT+b(k)ΔT2；
β1(k)＝-b(k)ΔT；
α0(t)，b(t)為單輸入單輸出線性時變系統方程系數；
α0(k)，b(k)分別為α0(t)，b(t)的第k步離散值；
u(t)為單輸入單輸出線性時變系統輸入變量；
u(k)為u(t)的第k步離散值；
ΔT為采樣周期。
3、根據權利要求1所述的非線性微分黃金分割自適應控制方法，其特征在于所述步驟(1)中單輸入單輸出線性時變系統為
其對應的特征模型在工程上為
y(k+1)＝α1(k)y(k)+α2(k)y(k-1)+β(k)u(k)
其中，
t為連續時間變量；
k為連續時間變量t的第k步離散值；
y為單輸入單輸出線性時變系統的輸出；
為y的一階導數；
y(n)為y的第n階導數；
y(k)為y的第k步離散值；
α1(k)＝2+(a0(k)-a0(k-1))ΔT+a0(k)ΔT-ΔT+a0(k)ΔT2；
α2(k)＝-1-a0(k)ΔT+ΔT；
β(k)＝(b(k)-b(k-1))ΔT+b(k)ΔT+b(k)ΔT2；
α0(t)，b(t)為單輸入單輸出線性時變系統方程系數；
α0(k)，b(k)分別為α0(t)，b(t)的第k步離散值；
u(t)為單輸入單輸出線性時變系統輸入變量；
u(k)為u(t)的第k步離散值；
ΔT為采樣周期。
4、根據權利要求1所述的非線性微分黃金分割自適應控制方法，其特征在于所述步驟(2)中的非線性微分黃金分割自適應控制律為
其中，L1＝0.382，L2＝0.618為黃金分割系數；
y為單輸入單輸出線性時變系統輸出變量；
y(k)為y的第k步離散值；
η1，η2為非負常數，μ為常數，其取值滿足步驟(3)中的穩定性條件；
和
為特征模型對應系數α1(k)、α2(k)、β(k)的估計值。
5、根據權利要求3所述的非線性微分黃金分割自適應控制方法，其特征在于所述
和
的估計值采用估計算法確定，如梯度算法，或遞推最小二乘法。
6、根據權利要求1所述的非線性微分黃金分割自適應控制方法，其特征在于所述步驟(3)中的閉環系統形式如下
y(k+1)+f1(k)y(k)+f2(k)y(k-1)＝0
其中，
L1＝0.382，L2＝0.618為黃金分割系數；
y為單輸入單輸出線性時變系統輸出變量；
y(k)為y的第k步離散值；
η1，η2為非負常數，μ為常數，其取值滿足步驟(3)中的穩定性條件；
和
為特征模型對應系數α1(k)、α2(k)、β(k)的估計值。
7、根據權利要求6所述的非線性微分黃金分割自適應控制方法，其特征在于所述步驟(3)中閉環系統的穩定性條件為
(a)f1(k)的變化率滿足
(b)
和
的變化率滿足
其中，
Δf1(k)＝f1(k+1)-f1(k)，Δf2(k)＝f2(k+1)-f2(k)，，
N1(k)＝-2p12(k+1)-2[p12(k+1)f2(k+1)-p22(k+1)f1(k+1)f2(k+1)]
0<δ1<δ2，0<δ11，0<δ22，0<δ<δ11δ22，
M1為|f1(k)|的上界。
全文摘要
非線性微分黃金分割自適應控制方法，包括下列步驟(1)針對單輸入單輸出線性時變系統建立特征模型；(2)針對所述的特征模型，構造非線性微分黃金分割自適應控制律；(3)對該控制律作用于特征模型組成的閉環系統進行穩定性分析，確定閉環系統的穩定性條件。本發明克服現有技術的不足，提供一種針對線性時變系統進行特征建模，以及采用非線性微分黃金分割的自適應控制方法，這種自適應控制方法能夠實現對快變信號和具有突變斜率信號的跟蹤。
文檔編號G05B13/04GK101364085SQ20081022222
公開日2009年2月11日 申請日期2008年9月12日 優先權日2008年9月12日
發明者楊俊春, 軍 胡, 吳宏鑫, 果 李, 王大軼, 倪茂林, 李智斌, 孫承啟, 斌 孟 申請人:北京控制工程研究所