專利名稱：逼近對數螺線的形成機構的制作方法
技術領域：
本發明涉及一種逼近對數螺線的形成機構。
背景技術：
雖然對數螺線是一條古老的曲線，但是由于它具有良好的數學、幾何、 力學和美學性質，使得它在計算幾何、工業造型、計算機輔助流體曲面優 化設計等現代學科中得到了廣泛的應用。關于對數螺線的逼近，許多專家 曾經提出過許多不同的逼近方法。利用復數"。+ 6/，其中"，6-0,在復平 面上利用點z, ，？…的連線就會逼近對數螺線，只要z的取值間隔足夠小， 則逼近的對數螺線就足夠精確。此外，基于對數螺線的性質，運用黃金矩 形也可以逼近對數螺線。
不管是復數逼近方法還是黃金矩形逼近方法，還僅僅是一種計算方法， 沒有相應的運動機構還是無法形成逼近對數螺線。數控機床利用數控中的 直線和圓弧插補的方法能夠實現逼近對數螺線的運動，只要選取的插補的 方法得當和步長足夠小，就會獲得較精確的逼近對數螺線。但通過數控機 床來實現逼近對數螺線運動，對數螺線的逼近需要幾個運動的合成，在普 通數控機床上實現不了，需要機床的多軸聯動才能進行加工，加工設備結 構復雜且成本較高。
發明內容
本發明的目的是提供一種加工設備結構簡單且成本較低的逼近對數螺 線的形成機構。
本發明的技術方案是這樣的逼近對數螺線的形成機構，設有滑塊， 此滑塊分別連接有圓周運動驅動機構和直線運動驅動機構，此滑塊在此圓 周運動驅動機構和直線運動驅動機構共同驅動下同時進行圓周運動和直線運動；且此滑塊連接有調節其圓周運動半徑的調節機構。
上述圓周運動驅動才幾構包括電機和圓周運動傳動沖幾構，上述圓周運動 傳動機構的輸出端設有第一連接件，上述滑塊固定此第一連接件上，上述 電機帶動上述圓周運動傳動機構驅動上述第一連接件進行圓周運動，最終 帶動固定于上述第一連接件上的滑塊進行圓周運動。
上述第一連接件為圓盤，上述滑塊設于此圓盤的盤面上。 上述圓盤上開設有經過圓盤圓心的滑槽，上述滑塊置于此滑槽內，此 滑槽內還設置有指向圓盤圓心的螺桿，上述滑塊開設有螺紋孔，并通過此 螺紋孔螺合穿設于此螺桿上。
上述直線運動驅動4幾構包括電機和直線運動傳動才幾構，上述直線運動傳 動機構通過第二連接件連接于上述第一連接件上。
采用上述方案后，本發明中對數螺線的逼近是由直線族和二次曲線族 的合成來實現的，采用直線運動驅動機構和圓周運動驅動機構，直線運動 驅動機構實現滑塊直線軌跡的分運動，圓周運動驅動機構實現滑塊圓周運 動的分運動，通過這些分運動的合成，則執行端的滑塊所走的軌跡就是逼 近的對數螺線。本發明僅需普通的直線運動驅動機構和圓周運動驅動機構 便可實現逼近的對數螺線，與現有技術中的數控機床相比，結構較為簡單， 而且成本大大降低。
圖la為對數螺線的形成示意圖lb為在;c。處選取一小段對數螺線進行逼近的示意圖； 圖2a、圖2b為運用ma11 ab軟件對逼近誤差的分析結果示意圖； 圖3a為在;coy坐標系下，采用直線和圓弧的合成來逼近在x。處的對數 螺線的示意圖3b為在？0>'坐標系下，采用直線和圓弧的合成來逼近在;c。處的對
數螺線的示意圖。
圖4為本發明逼近對數螺線的形成機構的結構示意圖。圖5為圖4中圓盤的俯朝L;改大示意圖。
具體實施例方式
本發明的逼近對數螺線的形成機構，如圖4、 5所示，設有機架l、工作 臺2和滑塊3，滑塊3分別連接有圓周運動驅動機構和直線運動驅動機構，滑 塊3在此圓周運動驅動機構和直線運動驅動機構共同驅動下同時進行圓周 運動和直線運動；且滑塊3連接有調節其圓周運動半徑的調節機構。
圓周運動驅動機構為設置于工作臺2的內部空腔內的螺母絲杠機構， 包括電機41、帶輪42、傳動帶43、帶輪44、傳動軸45、傳動齒輪46、傳 動齒輪47、主軸48和圓盤49，電機41的輸出軸連接至帶輪42，帶輪44 與帶輪42之間通過傳動帶43傳動連接，傳動軸45固定連接于帶輪44的 軸心處，傳動齒輪46的固定套設于傳動軸45上，傳動齒輪47與傳動齒輪 46相嚙合，傳動齒輪47固定套設于主軸48上，圓盤49垂直裝夾固定于主 軸48的下端部，且圓盤49露出工作臺2外。
直線運動驅動機構為輪系機構，包括電機51、傳動齒輪52、傳動齒輪 53、絲杠54、光杠55，絲杠54和光杠55分別一上一下水平穿設于機架1 上，工作臺2設有上底板21和下底板22，上底板21開設有與絲杠54相配 合的螺紋孔，下底板22開設有與光杠55相配合的通孔，工作臺2通過上 底板21的螺紋孔懸掛在絲杠54上，工作臺2通過上底板21可沿絲杠54 做直線運動，下底板22套設在光杠55上。
圓盤49的上表面開設有經過圓盤49圓心的滑槽491，滑塊3置于滑槽491 內，滑槽491內還設置有指向圓盤49圓心的螺桿492，滑塊3開設有螺紋孔， 并通過此螺紋孔螺合穿設于螺桿492上。
滑塊3的圓周運動工作原理電機41的轉動帶動帶輪42轉動，帶輪42 的轉動通過傳動帶"傳遞給帶輪44，而帶輪44與傳動軸45裝配在一起， 因此可帶動傳動軸45與帶輪44 一起轉動。傳動齒輪46裝配在傳動軸45 上，傳動軸45的轉動也帶動傳動齒輪46 —起轉動，通過傳動齒輪46和47 的嚙合可使轉動傳遞給主軸48,圓盤49裝夾固定在主軸48上，主軸48的轉動即可帶動圓盤49轉動，而裝配在圓盤49上的滑塊3就可獲得圓周運 動。
滑塊3圓周運動半徑的調節原理滑槽491過圓盤49的圓心，滑塊3 通過以螺桿492與圓盤圓心相連，螺桿492與滑塊3之間采用螺紋連接， 通過調整螺桿492的轉動就可以調整滑塊3與圓盤49圓心的距離，從而達 到調節對數螺線a值和m值的目的。
滑塊3的直線運動工作原理電機51的轉動帶動傳動齒輪52轉動， 通過傳動齒輪42和53的嚙合來帶動傳動齒輪53轉動。而傳動齒輪53與 絲杠54固連在一起，因此帶動絲杠54轉動。由于工作臺2的上底板21與 絲杠54之間是采用螺紋連接，工作臺2的上底板21相當于螺母，因此當 絲杠54做圓周運動時，對應的工作臺2就做沿絲杠54軸向方向的直線運 動。工作臺2的下底板22通過其通孔套設于光杠55上，光杠55可對工作 臺2起支撐作用，保證工作臺2沿絲杠54軸向方向做穩定連續的直線運動。
逼近對數螺線的實現根據實際需要，確定要逼近的對數螺線的a值和 m值，以確定滑塊3與圓盤49圓心的距離。然后開動電機41和51，電機51實 現工作臺2的直線運動，而滑塊3也相應獲得直線運動，電才幾41實現圓盤49 的轉動，而裝配在圓盤49上的滑塊3也相應獲得圓周運動。由于兩個運動是 同時進行的，因此執行件滑塊3所獲得的運動就是兩個分運動的合運動，此 合運動的運動軌跡就是a， m值確定的逼近的對數螺線。
本發明在利用泰勒展開式實現對對數螺線表達式逼近的基礎上，通過機 構上各分運動的合成實現對數螺線逼近的成形運動，并通過調節機構上不 同構件的定位尺寸來實現不同常數a、 m的對數螺線的逼近。
下面分別從逼近原理和逼近方法上來論證此逼近的對數螺線形成機構 理論上的正確性，并相應的估算出逼近的理論誤差值的大小。具體內容如 下
(1)對數螺線逼近的形成機構。
根據對數螺線的逼近原理，在機構實現上采用輪系帶動圓盤4 9實現對 數螺線成形運動的圓周運動的分運動，用螺母絲杠機構的傳動來實現對數螺線成形運動的直線運動的分運動，同時在圓盤49上安裝一滑塊3，通過調 節滑塊3與圓盤49圓心的距離來調整對數螺線表達式中的常數a、 m值的大 小，則圓盤49上的滑塊3所獲得的合成運動軌跡就是逼近的對數螺線。 具體實現方法如下
(a)用螺母絲杠機構實現直線運動，獲得相應的直線族軌跡線；用輪 系實現圓周運動，獲得圓族軌跡線；它們在機床上具體實現的方法如圖3a、 圖3b所示。圖3a所示用直線族和圓族軌跡的合成來逼近"。處對數螺線，圖 中逼近的對數螺線的y坐標值就等于直線族軌跡上對應的y坐標和圓族軌跡 上對應y坐標值之和。圖3b所示在進行直線族軌跡和圓族軌跡的合成來逼近 對數螺線之前，要先進行坐標變換，把直線族軌跡所在的^炒坐標系下的表 達式轉換為圓族軌跡所在的x'o、'坐標系下的表達式，然后在進行直線族軌 跡和圓族軌跡的合成來逼近對數螺線。目的是在機構實現上，把機床坐標 系與工件坐標系統一起來，使機床主軸與圓周運動軸心重合，然后按新坐 標系布置各運動才幾構。
直線族和圓族可分別表示為
而在新坐標系下表示為
;V = fl0(x0+c0)+K
(b) 螺母絲杠的進給運動是由電機51的轉動通過傳動齒輪42、 43傳送 給螺母絲杠機構的，螺母絲杠機構能夠把圓周運動轉換為沿y方向的直線運 動，螺母絲杠機構與圓盤49的中心軸連接在一起，通過螺母絲杠的沿y方向 的直線運動來帶動圓盤沿y方向作直線運動。
(c) 圓盤49的圓周運動是由另一臺驅動電機41來帶動的。電機41的轉 動通過傳動齒輪46、 47的傳動，傳遞給主軸48，而圓盤49及其中心軸與主軸48連接在一起，從而帶動圓盤49做圓周運動。
(d) 在圓盤49上安裝以滑塊3，滑塊3鑲嵌在圓盤49上，與圓盤49一起 做圓周運動。滑塊3沿滑槽491通過螺桿492可以任意調節滑塊3與圓盤49中 心軸的距離，從而達到控制對數螺線常數a、 m值的目的。
(e) 根據實際的需要，我們確定要逼近的對數螺線常數a、 m的值，則 對數螺線的定角；i和滑塊3距圓盤49中心軸的距離也隨之確定。滑塊3與圓盤 49一起作圓周運動的同時又沿y方向做直線運動，則滑塊3所做的合運動軌 跡就是a、 m值一定的逼近的對數螺線。
(2)對數螺線的逼近原理。
動點的運動方向始終與極徑保持定角義的動點軌跡，稱為對數螺線(亦 稱等角螺線)。其參數方程為<formula>formula see original document page 8</formula>
其中m 、 a均為常數，^表示對數螺線上的點與坐標原點連線與x軸正向 的夾角，義為此曲線與所有過極點的射線的交角。
如圖la、圖lb所示，圖la表示對數螺線的形成，動點的運動方向始 終與極徑保持定角義的動點軌跡，稱為對數螺線(亦稱等角螺線)。圖lb 表示在x。處選取一小段對數螺線進行逼近。根據對數螺線的表達式，隨著^ 角取值的變化，對應的x、 y坐標也要敝相應的變化。逼近對數螺線時，主 要是考慮怎樣實現隨^角取值的不同，對應的 x、 y坐標j故相應關見律的變化。 在此，我們釆用不同的分運動來分別控制x、 y坐標，通過這些分運動的合 成來實現對數螺線的逼近。對數螺線逼近的成形運動主要是由圓周運動和 直線運動的合成運動來實現的。在機構實現上，由輪系帶動圓盤繞其圓心 做圓周運動，它可以實現逼近對數螺線的圓周運動。而螺母絲杠才幾構的傳 動來帶動圓盤做y方向的直線運動，從而實現逼近對數螺線的直線運動。要采用直線和圓周兩個分運動來實現對數螺線在展開時x、 y坐 標的變化。此兩個分運動的合成運動所走過的軌跡就是逼近的對數螺 線。
(3)對數螺線表達式的逼近方法一一應用泰勒展開式逼近對數 螺線的表達式。 對數螺線的參數表達式為
"aeme si"
上面對數螺線的逼近機構及逼近方法都是在對數螺線表達式逼近的 基礎上實現的。而對數螺線表達式的逼近方法主要是利用泰勒展開式 來逼近的，具體方法如下 分別對x， y求導，得
!-(勵s"in，贈 (3)
此時用(4 ) / ( 3 )，得
(5)
由對數螺線在直角坐標下的表達式可得:
將其代入(5 )得
,'(x)一辦_附tanP + l 附^ + x (ir附一tan^mx —少 ，
同理可得/"(x),/"'(x),…/(")(x)。逼近的對數螺線在 處的泰勒展開式為
<formula>formula see original document page 10</formula>
從上面的式子可以看出，隨著泰勒展開式項數的增加(n值增大)，誤 差項^(x)值越來越小，即/(x)值越來越趨近于理論值/(;c。)。即泰勒展開式 的展開項數越多，獲得逼近的對數螺線就越逼近真實對數螺線的形狀。 (4)在直角坐標下，對數螺線表達式的逼近誤差估計。
在直角坐標下，對數螺線的參數表達式為
y = Z sin6>
其中P表示對數螺線上的點與坐標原點連線與x軸正向的夾角。
有上面的參數表達式可以得到對數螺線的數學表達式
<formula>formula see original document page 10</formula>
逼近的對數螺線/Oc;)在、處的泰勒展開式為
<formula>formula see original document page 10</formula>
項，
("十l)!
從上面的式子可以看出，隨著泰勒展開式項數的增加，誤差項/ 。(;c)值 越來越小。即泰勒展開式的展開項數越多，獲得逼近的對數螺線就越接近 真實對數螺線的真實形狀。
當l/("")(x)SM時，|及 ")| =
<formula>formula see original document page 10</formula>利用式(10)就可以估算出在e。處的對數螺線的逼近誤差A(x)的值。
在;c。處泰勒公式展開式來說，最后一項凡(jc)就是所謂的誤差，由于x。點取值的不同，A(:c)的值也有所不同，那么分析及"(x)就是分析誤差的變化趨 勢，由于a， m， ^的取值不同，所得的誤差大小也不一樣，其中a， m ，決定 的是對數螺線的形狀，而W直是決定;c。點的值。對于同一條對數螺線中不同 角度的誤差，運用matlab軟件進行分析，所得到的分析結果如圖2a、圖2b 所示，其中，圖2a為a-4， m=0. l時，&值在0~!內變化時，不同的Sj直在;c。處
2
所得逼近對數螺線的誤差示意圖；圖2b為a二2， m=0.2時，錄值在0~2內變化 時，不同的e值在x。處所得逼近對數螺線的誤差示意圖。
權利要求
1、逼近對數螺線的形成機構，其特征在于設有滑塊，此滑塊分別連接有圓周運動驅動機構和直線運動驅動機構，此滑塊在此圓周運動驅動機構和直線運動驅動機構共同驅動下同時進行圓周運動和直線運動；且此滑塊連接有調節其圓周運動半徑的調節機構。
2、 根據權利要求l所述的逼近對數螺線的形成機構，其特征在于上 述圓周運動驅動才幾構包括電才幾和圓周運動傳動才幾構，上述圓周運動傳動機 構的輸出端設有第一連接件，上述滑塊固定此第一連接件上，上述電機帶 動上述圓周運動傳動機構驅動上述第一連接件進行圓周運動，最終帶動固 定于上述第一連接件上的滑塊進行圓周運動。
3、 根據權利要求2所述的逼近對數螺線的形成機構，其特征在于上 述第一連接件為圓盤，上述滑塊設于此圓盤的盤面上。
4、 根據權利要求3所述的逼近對數螺線的形成機構，其特征在于上 述圓盤上開設有經過圓盤圓心的滑槽，上述滑塊置于此滑槽內，此滑槽內 還設置有指向圓盤圓心的螺桿，上述滑塊開設有螺紋孔，并通過此螺紋孔 螺合穿設于此螺桿上。
5、根據權利要求2所述的逼近對數螺線的形成機構，其特征在于上述 直線運動驅動機構包括電才幾和直線運動傳動機構，上述直線運動傳動機構 通過第二連接件連接于上述第一連接件上。
全文摘要
本發明公開了一種逼近對數螺線的形成機構，其設有滑塊，此滑塊分別連接有圓周運動驅動機構和直線運動驅動機構，此滑塊在此圓周運動驅動機構和直線運動驅動機構共同驅動下同時進行圓周運動和直線運動；且此滑塊連接有調節其圓周運動半徑的調節機構。本發明中對數螺線的逼近是由直線族和二次曲線族的合成來實現的，采用直線運動驅動機構和圓周運動驅動機構，直線運動驅動機構實現滑塊直線軌跡的分運動，圓周運動驅動機構實現滑塊圓周運動的分運動，通過這些分運動的合成，則執行端的滑塊所走的軌跡就是逼近的對數螺線。本發明僅需普通的直線運動驅動機構和圓周運動驅動機構便可實現逼近的對數螺線，與現有技術中的數控機床相比，結構較為簡單，而且成本大大降低。
文檔編號B23Q5/04GK101412191SQ20081007210
公開日2009年4月22日 申請日期2008年11月7日 優先權日2008年11月7日
發明者張振晶, 項春江, 顧立志 申請人:華僑大學